Гранична вредност

Гранична вредност је један од основних појмова математичке анализе. Помоћу појма граничне вредности дефинишу се непрекидност, математички изводи и интеграли. Разликују се гранична вредност низа и гранична вредност функције.

Гранична вредност описује број коме тежи вредност функције или вредност члана математичког низа, када се аргумент функције или индекс низа приближе некој вредности.

У математичким формулама гранична вредност се обично означава са lim, као на пример lim(a_n) = a, или стрелицом (→), као на пример a_n → a.

Математичари су интуитивно познавали концепт граничне вредности већ у другој половини XVII века, што се види у радовима Исака Њутна. То је случај и са радовима Ојлера и Лагранжа из XVIII века. Прву строго научну дефиницију граничне вредности дали су Болцано 1816. и Коши 1821. године.

Гранична вредност низа

За више информација погледајте чланак Гранична вредност низа

Гранична вредност низа бројева је вредност којој се приближавају вредности чланова низа када се њихов индекс повећава.

То се може исказати и формалније. Ако је x низ који има граничну вредност L:

За сваки реални број ε > 0, постоји природни број n₀ такав да за свако n > n₀, |x_n − L| < ε.

Низови који имају граничну вредност називају се конвергентни низови. Они који је немају називају се дивергентни низови. Ако низови нису ни конвергентни ни одређено дивергентни називају се неодређено дивергентни низови.

Гранична вредност функције

График функције показује да када аргумент тежи ка бесконачности, вредност функције тежи вредности $L$.

За више информација погледајте чланак Гранична вредност функције

Функција $f(x)$ има граничну вредност $L$ у тачки $x_0$, ако је за све вредности $x$, довољно блиске тачки $x_0$, вредност $f(x)$ довољно блиска вредности $L$.

Данас се најчешће користи дефиниција граничне вредности функције коју је Карл Вајерштрас формализовао у 19. веку. Она гласи:

Нека је ƒ функција дефинисана на отвореном интервалу који садржи вредност c (осим можда у самој тачки c) и нека је L реалан број. Онда формула

$\lim_{x \to c}f(x) = L \,$

значи да за свако реално ε > 0 постоји реална вредност δ > 0 таква да је за свако x које испуњава услов 0 < |x − c| < δ, имамо да је |ƒ(x) − L| < ε,

То се у математичкој нотацији записује као:

$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \ \delta > 0 : \forall x \quad (0 < |x - c| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \varepsilon).$