Нацрт:Уписани и споља приписани кругови троугла

Под уписаним кругом троугла подразумева се највећи круг који се може уписати у троугао. То је круг који додирује све три странице троугла са унутрашње стране. Центар тог круга једноставно се назива центар уписаног круга троугла, а добија се као пресек симетрала унутрашњих углова троугла.

Споља приписани круг троугла је круг који додирује једну страницу троугла са спољне стране, као и продужетке преостале две странице. Сваки троугао има три споља приписана круга. Центар споља приписаног круга троугла $\triangle ABC$ који одговара темену $C$ налази се у пресеку симетрале унутрашњег угла код темена $C$ и симетрале два спољашња угла код темена $A$ и $B$ троугла $\triangle ABC$.

Пошто су симетрала унутрашњег и симетрала спољашњег угла међусобно нормалне, из тога следи да је центар уписаног круга тругла ортоцентар новог троугла, чија су темена центри споља приписаних кругова.

Многоуглови који имају више од три странице немају увек уписани круг који ће додиривати сваку од њих. Они код којих је то оствариво називају се тангентни многоуглови.

Уписан и приписан круг

Веза са површином троугла

Полупречници уписаног и споља приписаних кругова су уско повезани са површином троугла.

Уписани круг

Центар уписане кружнице је пресек симетрала (црвено) углова

Претпоставимо да   $\triangle ABC$   има уписан круг полупречника  $r$  са центром у тачки $O$.

Нека је  $a$  дужина странице $BC$,   $b$   дужина странице $AC$, и   $c$   дужина странице $AB$.

Такође, нека наш уписани круг додирује страницу $AB$ у тачки коју ћемо означити са $C^{'}$, и угао    $\angle AC'O$   је прав. Дужина полупречника $C^{'}O$ је висина троугла   $\triangle OAB$  . Пошто  $\triangle OAB$ има базу дужине  $c$   и висине   $r$  , онда је површина овог троугла једнака  ${\frac {1}{2}}cr$  .

Слично,   $\triangle OAC$   има површину  ${\tfrac {1}{2}}br$   и   $\triangle OBC$   има површину   ${\frac {1}{2}}ar$  .

Пошто су ова три троугла саставни део троугла   $\triangle ABC$  , из тога можемо закључити

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,$      и      $r={\frac {\Delta }{s}},$

где је   $\Delta$   површина   $\triangle ABC$   и   $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$   полуобим троугла.

Површина се може добити и на овај начин: посматрајмо   $\triangle OC'A$  . Ово је правоугли троугао са једном страницом дужине  $r$   и са другом страницом чија је дужина једнака   $r\cos {\frac {\alpha }{2}}$  . Исто је и за   $\triangle OB'A$  . Велики троугао је састављен од шест оваквих малих, па укупна површина једнака је:

$\Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}})$

Споља приписани кругови

Посматрајмо спољашњи круг који одговара страници $AB$ који додирује продужетак странице $AC$ у тачки $G$, и означимо његов полупречник са $r_{c}$ и његов центар са $I_{c}$. Тада је $I_{c}G$ висина $\triangle ACI_{c}$, па $\triangle ACI_{c}$ има површину ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$.

Слично, $\triangle BCI_{c}$ има површину ${\frac {1}{2}}ar_{c}$ и $\triangle ABI_{c}$ има површину

${\frac {1}{2}}cr_{c}$.

Из тога следи:

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$.

Дакле,

$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$.

Применом косинусне теореме добијамо:

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Ако искористимо и идентитет $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$, добићемо

$\sin \alpha ={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Али $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha$, па зато

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$

и ово је Херонов образац.

Комбиновањем овога са $sr=\Delta$, добијамо

$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

Слично, $(s-a)r_{a}=\Delta$ даје

$r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}$

и

$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.$

Из ових формула можемо закључити да су споља приписани кругови увек већи од круга уписаног у троугао, и да је највећи спољашњи круг онај који додирује најдужу страницу троугла, као и да је најмањи онај који додирује најкраћу страницу троугла.

Даље комбиновање ових формула доноси нам:

$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

Однос површина уписаног круга и троугла је мањи или једнак ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, са једнакошћу која важи само за једнакостраничне троуглове.

Повезане конструкције

Жергонова тачка

Жергонова тачка и контакт троугао

Жергонову тачку је 1818. године открио француски матмематичар Жергон(Joseph Diaz Gergonne) , по коме је и добила име.

Нека су $T_{A}$, $T_{B}$ и $T_{C}$ додирне тачке уписаног круга са страницама $BC$,$AC$ и $AB$. Тада су подударне одговарајуће тангентне дужи:

$T_{C}A$≅$T_{B}A$, $T_{A}B$≅$T_{C}B$ и $T_{A}C$≅$T_{B}C$.

Тада је ${\frac {T_{C}A}{T_{C}B}}\cdot {\frac {T_{A}B}{T_{A}C}}\cdot {\frac {T_{B}C}{T_{B}A}}=1$.

Одавде из Чевине теореме се праве $T_{A}A$, $T_{B}B$ и $T_{C}C$ секу у једној тачки $G_{e}$која се зове Жергонова тачка троугла, а троугао $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ се зове контакт троугао (или Жергонов троугао) троугла $\triangle ABC$.

Кружница са 9 тачака и Фојербахова тачка

Ојлерова кружница или кружница са 9 тачака је кружница која садржи следеће тачке:

• Подножја висина троугла,

• Средишта страница,

• Средине растојања ортоцентра троугла од сваког темена.

Пошто постоје по три тачке од свега наведеног, то је укупно девет тачака.

Фојербахова тачка је тачка у којој се додирују Ојлерова кружница и уписана кружница.

Ојлеров круг и Фојербахова тачка		Илустрација Ојлерове кружнице са девет тачака

Нагелова тачка

Нагелова тачка и троугао

Нагелова тачка добила је име по немачком математичару Кристијану Хенриху фон Нагелу(Christian Heinrich von Nagel ), који је писао о њој 1836. године.

Ако су $D$, $E$ и $F$ тачке додира споља приписаних кружница са страницама $BC$, $CA$ и $AB$, тада се праве $AD$, $BE$, $CF$ секу у тачки обележеној са $X$ на слици. Ту тачку називамо Нагелова тачка троугла $\triangle ABC$ Троугао формиран од тачака $D$, $E$ и $F$ назива се Нагелов троугао.

Трилинеарне координате Нагелове тачке (по синусној теореми):

${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$.

Једначине за уписани и споља приписане кругове

Трилинеарне координате представљају неку врсту односа растојања посматране тачке од страница у троуглу. Нека су $x:y:z$ трилинеарне координате и нека је $u=\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$, $v=\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}$, $w=\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}$. Једначине за претходно описане кругове:

• Уписани круг:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

• Споља приписани круг који одговара темену $A$:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

• Споља приписани круг који одговара темену $B$:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

• Споља приписани круг који одговара темену $C$:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

Ојлерова теорема

Према Ојлеровој теореми важи:

$(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},$

где су $R$ и $r_{in}$ полупречници описаног и уписаног круга, респективно, и $d$ растојање између њихових центара.

Слично:

$(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},$

где је $r_{ex}$ полупречник приписаног круга, и $d$ растојање између центара споља приписаног и описаног круга .

Барицентрички координатни систем

“То што је трима тачкама равни могуће доделити такве тежине да би се задата четврта тачка показала њиховим центром, … довело ме је до нове методе задавања тачке у равни.” -- Аугуст Фердинанд Мебијус(August Ferdinand Möbius ).

Барицентрички координатни систем је такав систем у коме се положај тачке у равни одређује у односу на троугао(референтни троугао). Координате те тачке су одређене масама које треба ставити у темена референтног троугла да би та тачка била тежиште троугла.

Нека су $A_{1}$,$A_{2}$,$A_{3}$ три фиксиране неколинеарне тачке у равни. Хомогене барицентричке координате тачке $M$ у равни представља ненула тројка ($m_{1}:m_{2}:m_{3}$) тако да за произвољну тачку $O$ те равни важи:

${\vec {OM}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\left(m_{1}\cdot {\vec {OA_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {OA_{2}}}+m_{3}\cdot {\vec {OA_{3}}}\right).$

Ако важи да је $m_{1}+m_{2}+m_{3}=1$ тада је :

${\vec {OM}}=m_{1}\cdot {\vec {OA_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {OA_{2}}}+m_{3}\cdot {\vec {OA_{3}}},$

онда су то (нехомогене) барицентричке координате.

Неколико значајних тачака троугла у барицентричком кооординатном систему:

• Центар уписане кружнице

Барицентричке координате центра уписане кружнице су $a:b:c$.

• Нагелова тачка

Барицентричке координате Нагелове тачке су $(s-a):(s-b):(s-c)$.

• Споља приписани кругови:

1. Барицентричке координате споља приписаног круга са центром $I_{a}$ су $-a:b:c$.
2. Барицентричке координате споља приписаног круга са центром $I_{b}$ су $a:-b:c$.
3. Барицентричке координате споља приписаног круга са центром $I_{c}$ су $a:b:-c$.

Литература

• Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
• Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138.
• Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115
• Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
• Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866)
• Johnson, R. A. Modern Geometry, Houghton Mifflin, Boston, 1929: pp. 187
• T. Šukilović, S. Vukmirović, Geometrija ѕa informatičare, Matematički fakultet, Beograd. 2015.

Спољашње везе

• Центри троугла (језик: енглески)
• Math world(језик: енглески)
• Извођење формула (језик: енглески)
• Адамов круг и Жергонова тачка (језик: енглески)
• Барицентричке координате (језик: енглески)