Теорема Јегорова

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, теорема Јегорова тврди да низ мерљивих функција који конвергира скоро свуда заправо конвергира равномерно на неком подскупу мере по жељи блиске мери целог простора.

Овај важан исказ теорије мере назван је у част руског математичара Дмитрија Фјодоровича Јегорова. Користи се у доказу теореме Лузина (Лузин је био Јегоровљев ученик).

Исказ[уреди]

Нека је (X, Σ, μ) мерљив простор коначне мере (μ(X) < ∞) и fn низ мерљивих функција који конвергира μ-скоро свуда ка f. Тада за свако ε > 0 можемо наћи подскуп Xε ⊂ X такав да је μ(Xε) < ε и да низ fn конвергира равномерно ка f на X \ Xε.

Другим речима, конвергенција скоро свуда повлачи битно јачу равномерну конвергенцију ван скупа прозвољно мале мере. Ова врста конвергенције назива се скоро равномерна конвергенција.

Услов да је простор коначне мере је неопходан. На пример, на скупу реалних бројева са Лебеговом мером (на било алгебри Борел- или Лебег-мерљивих скупова), ако је fn карактеристична функција интервала [n, n+1], низ fn конвергира свуда (тачка-по-тачка) ка нули, али не постоји ниједан скуп коначне мере ван којег је ова конвергенција равномерна.