Теорема потпуне вероватноће

Теорема потпуне вероватноће је појам из вероватноће. Користи се за израчунавање вероватноће неког догађаја у односу на његов потпун систем хипотеза.

Потпун систем хипотеза

Ако за узајамно искључиве догађаје $H_{1}$, ... , $H_{n}$ и догађај $A$ важи:

$A\subset H_{1}\cup ...\cup H_{n}$

тада се каже да догађаји $H_{1}$, ... , $H_{n}$ чине потпун систем хипотеза у односу на догађај $A$.

На пример, ако имамо догађаје $A$ и $B$, тада су догађај $B$ и њему супротан догађај $B'$ заправо потпун систем хипотеза у односу на догађај $A$, јер свакако важи $A\subset B\cup B'$.

Теорема потпуне вероватноће

Ако догађаји $H_{1}$, ... , $H_{n}$ чине потпун систем хипотеза у односу на догађај A, односно, ако је $\sum _{i=1}^{n}H_{i}=\Omega$ где је $\Omega$ скуп свих могућих елементарних догађаја, тада важи теорема потпуне вероватноће:

$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\mid H_{i})P(H_{i})$

Доказ теореме следи из чињенице да за потпун систем хипотеза важи:

$A=(AH_{1})\cup ...\cup (AH_{n})$

где је $AH_{1}$ скраћени запис $A\cap H_{1}$. На основу овога, како су догађаји $H_{1}$, ... , $H_{n}$ узајамно искључиви, важи: $P(A)=P(AH_{1})+...+P(AH_{n})$

Даље се применом правила условне вероватноће добија теорема потпуне вероватноће.

Види још

• Вероватноћа
• Теорија вероватноће
• Условна вероватноћа
• Бајесова формула

Литература

• Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
• Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
• Меркле, Милан (2016). Вероватноћа и статистика за инжењере и студенте технике (4. и допуњено изд.). Београд: Академска мисао. стр. 44. ISBN 978-86-7466-594-7.