Хелмхолцова једначина

Из Википедије, слободне енциклопедије

Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:

 (\Delta + k^2)U=0

где \Delta = \nabla^2 представља Лапласов оператор, k је таласни број, а U амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:

 (\Delta + k^2)U=f

Извод[уреди]

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине:

\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0. (1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:

u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t). (2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2  }. (3)

Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

{\nabla^2 A \over A } = -k^2   (4)

и

 {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2  } = -k^2  (5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:

\nabla^2 A + k^2 A  =  (\nabla^2 + k^2)  A  =  0.  (6)

а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције  \omega  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  kc добија се:

\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T  =  \left({ d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T  =  0,

При томе k је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.

Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих[уреди]

За Хелмхолцову једначину:

 (\nabla^2 + k^2 ) A = 0 (7)

Лапласијан се у поларним координатама пише као:

\begin{align}
 \Delta  A  
&= {1 \over r} {\partial \over \partial  A }
  \left(r {\partial  A  \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2}
&= {1 \over r} {\partial  A  \over \partial r} 
+ {\partial^2  A  \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2}
.
\end{align}

Због тога једначина (7) постаје:

{1 \over r} {\partial  A  \over \partial r} 
+ {\partial^2  A  \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2} +(k^2 ) A = 0  (8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:

 A(r,\theta) =  R(r)\Theta(\theta), \,

гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

 \Theta'' +n^2 \Theta =0, \,  (9)

и

 r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \,  (10)

Решења од (9) и (10) су:

 \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,
 R(r) = \gamma J_n(\rho), \,

где је  J_n(\rho) Беселова функција, која је решење Беселове једначине:

 \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0,

Тродимензионално решење у сферним координатама[уреди]

У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:

 A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell (a_{\ell m} j_\ell (k r ) + b_{\ell m} y_\ell (k r ) ) Y ^ m_\ell ({ \theta,\varphi} ) .

где су  j_\ell (k r  ) и  y_\ell (k r ) сферне Беселове функције, а : Y^m_\ell ({\theta,\varphi} ) представља сферне хармонике.

Нехомогена Хелмхолцова једначина[уреди]

Нехомогена Хелмхолцова једначина:

 (\Delta + k^2)U=f

рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:

\nabla^2 G(x) + k^2 G(x) = \delta(x) . \,

Пошто је:


(\triangle +k^2)\frac{1}{|x|}e^{ik|x|}
=e^{ik|x|}\triangle\frac{1}{|x|}+2\left (\operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}{|x|}\right )+\frac{1}{|x|}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}e^{ik|x|}=


=-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left (-\frac{2ik}{|x|^2}+\frac{2ik}{|x|^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right )e^{ik|x|}=-4\pi\delta(x).

онда је тродимензионална Гринова функција:


G_1(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|}, \qquad G_2=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.

Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:

\left(\Delta+k^2\right)G(\vec{r},\vec{r}')=\delta(\vec{r}-\vec{r}')

а Гринова функција као:


G(\vec{r},\vec{r}')=-\frac{\exp(\pm i k |\vec{r}-\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}

Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као: 
U(\vec{r})=\int d^3r'\, f(\vec{r}')G(\vec{r},\vec{r}')=-\int d^3r'\,f(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i k |\vec{r}-\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}

Литература[уреди]

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Хелмхолцове једначине