Zakrivljenost

Prikaz zakrivljenosti prostor-vremena.

U matematici, zakrivljenost se odnosi brojne u maloj meri povezane koncepte iz različitih oblasti geometrije. Intuitivno, zakrivljenost je mera odstupanja geometrijskog objekta od ravni, ili prave u slučaju linije, ali se to definiše na različite načine u zavisnosti od konteksta.

Svaka neprekidna kriva može se aproksimirati krugom određenog poluprečnika u okolini date tačke. Pretpostavimo da je kriva data u ravni. Poluprečnik kruga koji je dodiruje u tački (x, y) i ima isti prvi i drugi izvod kao i data kriva u toj tački predstavlja zakrivljenost krive. Krenimo od jednačine kruga sa centrom u tački (p, q)

$\left( x - p \right)^2 + \left( y - q \right)^2=r^2$ , (1)

gde je r poluprečnik kruga.

Diferenciranjem ove jednačine dobijamo

$\left( x - p \right) + \left( y - q \right)y'=0$ , (2)

a još jednim diferenciranjem

$1 + y'^2 + \left( y - q \right)y''=0$ . (3)

Iz (3) dobijamo da je

$y - q= - \left( 1 + y'^2 \right)/y''$, (4)

a vraćanjem ovog rezultata u (2) sledi

$x - p=y' \left( 1 + y'^2 \right)/y''$, (5).

Uvrštavanjem (4) i (5) u (1), dobijamo da je poluprečnik (krivine) kruga dat sa:

$r= \left( 1 + y'^2 \right)^\left(3/2\right)/\left|y''\right|$ , (6)

uz napomenu da je r uvek pozitivan.

Za sve tačke na krugu, pa tako i tačke dela krive koju krug aproksimira (dodirna tačka i beskonačno mala okolina) veza poluprečnika kruga (zakrivljenosti) i prvog i drugog izvoda krive u toj tački data je jednačinom (6).

Ukoliko pomerimo koordinatni početak u dodirnu tačku kruga i krive i još postavimo x osu da se poklopi sa tangentom krive u toj tački, prvi izvod postaje nula i jednačina poluprečnika krivine (zakrivljenosti krive) se svodi na:

$r = 1 / \left|y''\right|$ .

Iz jednačina (4) i (5) mogu se za svaku tačku krive odrediti koordinate centra kruga zakrivljenosti p i q. Te tačke definišu novu krivu koja se naziva centroida.

Literatura

• Coolidge, J.L. "The Unsatisfactory Story of Curvature". The American Mathematical Monthly, Vol. 59, No. 6 (Jun. - Jul., 1952), pp. 375–379
• Curvature at the Encyclopaedia of Mathematics
• Morris Kline: Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover 1998, ISBN 978-0-486-40453-0, p. 457-461 ( restricted online copy на сајту Гугл књиге)
• A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover 1956, ISBN 978-0-486-20370-6, p. 151-168 ( restricted online copy на сајту Гугл књиге)
• James Casey: Exploring Curvature. Vieweg+Teubner Verlag 1996, ISBN 978-3-528-06475-4

Спољашње везе

Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Zakrivljenost