Костасова петља

Костасова петља (енгл. Costas loop) је коло базирано на фазно-затвореној петљи, које се користи за обнављање фазе носиоца из модулисаних сигнала са потиснутим носиоцем. Костасову петљу је изумео инжењер Џон П. Костас (енгл. John P. Costas) 1950. За његов изум је казано да има дубок утицај на модерне дигиталне комуникације. Примарна примјена Костасове петље је у бежичним пријемницима. Њена предност у односу на детекторе базиране на ПЛЛ-у је то сто на малим одступањима Костасова петља има грешку у процјени напона син (2 (θи-θф)) насупрот син (θи-θф). То значи да је два пута више осјетљива, што чини да је Костасову петља веома погодна за праћење носиоца са Доплеровим помјерајем, као што је случај код ОФДМ и ГПС пријемника.^[1]

Класична примјена

Костасова петља пре синхронизације	Костасова петља после синхронизације

	ВЦО улаз у току синхронизације

У класичној примјени Костасове петље,^[2] локалним напоном управљани осцилатор (ВЦО) пружа поворку четвртки на излазу, један за сваку од двије фазе детектора, на примјер детектори производа. Иста фаза улазног сигнала се такође примјењује на оба детектора фазе и излаз из сваког детектора фазе је прошао кроз нископропусни филтар. Излази из тих нископропусних филтара су улази у други детектор фазе, чији излаз пролази кроз филтар за редукцију шума прије него што ће бити искоришћен за контролу напонски контролисаног осцилатора. Уопштено одзив петље је контролисан са два појединачна филтра нископропусника који претходе трећем детектору фазе док трећи нископропусни филтар има тривијалну улогу.

Основна петља

Ова петља, и њене варијације, се много користи као метод за аквизицију носиоца и тренутну демодулацију поруке у комуникационим системима, како аналогним тако и дигиталним.

Она има својство да је у стању извући носилац из примљеног сигнала, чак и када не постоји компонента на фреквенцији носиоца у том сигналу.

Костасова петља је заснована на пару квадратурних модулатора а то су два множача на која су доведена два носиоца у квадратури фазе. Ови множачи се у овој поставци налазе у фази I и квадратурној фази Q.

Сваки од ових множача је дио засебних синхроних демодулатора. Излази из модулатора, након филтрирања, множе се заједно у трећем мултипликатору, и нископропусне компоненте у овом производу користе се за подешавање фазе локалног носиоца извора — ВЦО — у односу на примљени сигнал. Операција је таква да се максимизује излаз I дијела а минимизује излаз Q дијела. Излаз I дијела је у ствари порука тако да Костасова петља не само да обнавља носиоца већ истовремено има и улогу синхроног демодулатора. Комплетна анализа ове петље није једноставна.Укључује одређивање услова стабилности, опсег закључавања, опсег мјерења итд.

Неодређеност фазе

Иако Костасова петља може омогућити сигнал на фреквенцији носиоца, остаје $180^{o}$ неодређености фазе. Неодређеност фазе $180^{o}$ у многим (обично аналогним) ситуацијама нема посљедица - на примјер када имамо поруку говора. У дигиталним комуникацијама то ће довести до пораста инверзије података, а то не може бити прихватљиво - али постоје методе за превазилажење проблема.

Математички модели Костасове петље

Модел Костасове петље у временском домену

У најједноставнијем случају $m^{2}(t)=1$ . Дакле $m^{2}(t)=1$ не утиче на улаз филтра за редукцију шума. Носилац и ВЦО сигнали су повремене осцилације с високим фреквенцијама $f^{1,2}(\theta (t))$ wитх хигх-фреqуенциес ${\dot {\theta }}^{1,2}(t)$ . Блок $-90^{o}$ помјерена фаза ВЦО сигнала са $-{\frac {\pi }{2}}$ . На слици са $\bigotimes$ означен је аналогни множач.

С математичког гледишта, линеарни филтар се може описати системом линеарних диференцијалних једначина.

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+b\xi (t),&\sigma =c^{*}x,\end{array}}

Овдје, $A$ је константна матрица, $x(t)$ је вектор стања филтра , $b$ и $c$ су константни вектори.

За напоном-управљани осцилатор подразумијевамо да је линеаран. ${\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}^{2}(t)=\omega _{free}^{2}+LG(t),&t\in [0,T],\end{array}}$ ], гдје $\omega _{free}^{2}$ је слободна фреквенција напоном контролисаног осцилатора док је $L$ појачање осциловања. На сличан начин је могуће размотрити различите нелинеарне моделе ВЦО .

Претпоставимо да је учестаност главног генератора константна ${\dot {\theta }}^{1}(t)\equiv \omega ^{1}.$ .Једначина ВЦО и једначина преноса филтра ${\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf^{1}(\theta ^{1}(t))f^{2}(\theta ^{2}(t)),&{\dot {\theta }}^{2}=\omega _{free}^{2}+Lc^{*}x.\end{array}}$ . Систем је тежак за рјешавање.

Модел Костасове петље у фреквенцијском домену

У најједноставнијем случају, када

{\begin{array}{l}f^{1}{\big (}\theta ^{1}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega ^{1}t{\big )},f^{2}{\big (}\theta ^{2}(t){\big )}=\sin {\big (}\omega ^{2}t{\big )}\\f^{1}{\big (}\theta ^{1}(t){\big )}^{2}f^{2}{\big (}\theta ^{2}(t){\big )}f^{2}{\big (}\theta ^{2}(t)-{\frac {\pi }{2}}{\big )}=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\omega ^{2}t)+\sin(2\omega ^{2}t-2\omega ^{1}t)+\sin(2\omega ^{2}t+2\omega ^{1}t){\Big )}\end{array}}

уобичајена инжењерска претпоставка је да филтар уклања горњи бочни опсег с учестаношћу са улаза, али оставља доњи бочни опсег без промјене. Стога се претпоставља да ВЦО улаз

\varphi (\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega ^{1}-2\omega ^{2})

Ово чини Костасове петљу еквивалентом ПЛЛ-а са карактеристиком детектора фазе $\varphi (\theta )$ одговара на одредјене форме таласа $f^{1}(\theta )$ и $f^{2}(\theta )$ улазних и ВЦО сигнала. Може се доказати, да улази $g(t)$ и $G(t)$ од ВЦО у фреквенцијском домену и моделима временских домена су готово једнаки.^[3]^[4]^[5] Овим поједностављујемо^[6] систем диференцијалних једначина

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),&\Delta {\dot {\theta }}=\omega _{free}^{2}-\omega ^{1}+Lc^{*}x,\\\Delta \theta =\theta ^{2}-\theta ^{1}.&\end{array}}

Крyлов-Боголијубов методом усредњавања омогућује да се докаже да рјешења оваквих система једначина се могу приближно одредити коришћењем одговарајућих претпоставки. Тако блок-схема Костасове петље у временском домену може се асимптотски промијенити у блок-схеме на нивоу френквенцијског домена.

Прелазак на анализу примјеном тих модела Костасове петље омогућава да се превладају тешкоће везане за моделирање Костасове петље у временском домену.

Референце

^ D. Таyлор (2002). „Интродуцтион то `Сyнцхроноус Цоммуницатионс', А Цлассиц Папер бy Јохн П. Цостас” (ПДФ). Процеедингс оф тхе ИЕЕЕ. 90 (8): 1459—1460.
^ Јефф Феигин (1. 1. 2002). „Працтицал Цостас лооп десигн” (ПДФ). РФ Десигн: 20—36. Архивирано из оригинала (ПДФ) 11. 2. 2012. г. Приступљено 26. 11. 2013.
^ Г.А. Леонов; Н.V. Кузнетсов; M.V. Yулдасхев; Р.V. Yулдасхев (2012). „Дифферентиал еqуатионс оф Цостас лооп” (ПДФ). Докладy Матхематицс. 86 (2): 723—728.
^ Леонов Г.А.; Кузнетсов Н.V.; Yулдасхев M.V.; Yулдасхев Р.V. (2012). „Аналyтицал метход фор цомпутатион оф пхасе-детецтор цхарацтеристиц” (ПДФ). ИЕЕЕ Трансацтионс он Цирцуитс анд Сyстемс Парт II. 59 (10): 633—637. ^{[мртва веза]}
^ Н.V. Кузнетсов; Г.А. Леонов & С.M. Селедзхи (2009). „Нонлинеар аналyсис оф тхе Цостас лооп анд пхасе-лоцкед лооп wитх сqуарер” (ПДФ). Процеедингс оф Елевентх ИАСТЕД Интернатионал Цонференце Сигнал анд Имаге Процессинг. АЦТА Пресс. 654: 1—7.
^ Кузнетсов Н.V.; Леонов Г.А.; Неиттаанмаки П.; Селедзхи С.M.; Yулдасхев M.V.; Yулдасхев Р.V. (2012). „Нонлинеар матхематицал моделс оф Цостас Лооп фор генерал wавеформ оф инпут сигнал”. ИЕЕЕ 4тх Интернатионал Цонференце он Нонлинеар Сциенце анд Цомплеxитy, НСЦ 2012 - Процеедингс. ИЕЕЕ Пресс (6304729): 75—80. дои:10.1109/НСЦ.2012.6304729.

[1] D. Таyлор (2002). „Интродуцтион то `Сyнцхроноус Цоммуницатионс', А Цлассиц Папер бy Јохн П. Цостас” (ПДФ). Процеедингс оф тхе ИЕЕЕ. 90 (8): 1459—1460.

[2] Јефф Феигин (1. 1. 2002). „Працтицал Цостас лооп десигн” (ПДФ). РФ Десигн: 20—36. Архивирано из оригинала (ПДФ) 11. 2. 2012. г. Приступљено 26. 11. 2013.

[3] Г.А. Леонов; Н.V. Кузнетсов; M.V. Yулдасхев; Р.V. Yулдасхев (2012). „Дифферентиал еqуатионс оф Цостас лооп” (ПДФ). Докладy Матхематицс. 86 (2): 723—728.

[4] Леонов Г.А.; Кузнетсов Н.V.; Yулдасхев M.V.; Yулдасхев Р.V. (2012). „Аналyтицал метход фор цомпутатион оф пхасе-детецтор цхарацтеристиц” (ПДФ). ИЕЕЕ Трансацтионс он Цирцуитс анд Сyстемс Парт II. 59 (10): 633—637. ^{[мртва веза]}

[5] Н.V. Кузнетсов; Г.А. Леонов & С.M. Селедзхи (2009). „Нонлинеар аналyсис оф тхе Цостас лооп анд пхасе-лоцкед лооп wитх сqуарер” (ПДФ). Процеедингс оф Елевентх ИАСТЕД Интернатионал Цонференце Сигнал анд Имаге Процессинг. АЦТА Пресс. 654: 1—7.

[6] Кузнетсов Н.V.; Леонов Г.А.; Неиттаанмаки П.; Селедзхи С.M.; Yулдасхев M.V.; Yулдасхев Р.V. (2012). „Нонлинеар матхематицал моделс оф Цостас Лооп фор генерал wавеформ оф инпут сигнал”. ИЕЕЕ 4тх Интернатионал Цонференце он Нонлинеар Сциенце анд Цомплеxитy, НСЦ 2012 - Процеедингс. ИЕЕЕ Пресс (6304729): 75—80. дои:10.1109/НСЦ.2012.6304729.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]