Стандардна грешка

За вредност која је узоркована са непристрасном нормално расподељеном грешком, горе приказано представља удео узорака који би пао између 0, 1, 2 и 3 стандардне девијације изнад и испод стварне вредности.

Стандардна грешка (енгл. Standard error - SE) статистичког параметра (обично процене параметра) је стандардна девијација његове дистрибуције узорковања или процена тог стандардног одступања. Ако је параметар или статистика средња вредност, она се назива стандардном грешком средње вредности (енгл. standard error of the mean - SEM).

Дистрибуција узорка популационе средње вредности се генерише поновљеним узорковањем и бележењем добијених средњих вредности. Ово формира дистрибуцију различитих средњих вредности, и ова дистрибуција има своју средњу вредности и варијансу. Математички, добијена варијанса дистрибуције узорковања једнака је варијанси популације подељеној величином узорка. То је зато што како се величина узорка повећава, средње вредности узорака се ближе групишу око око популационе средње вредности. Стога је однос између стандардне грешке и стандардне девијације такав да је за дату величину узорка стандардна грешка једнака стандардној девијацији подељеној са квадратним кореном величине узорка. Другим речима, стандардна грешка средње вредности је мера дисперзије средњих вредности узорка око популационе средње вредности.

У регресијској анализи, израз „стандардна грешка” односи се на квадратни корен редуковане хи-квадратне статистике или на стандардну грешку за дати коефицијент регресије (као што се користи, на пример, у интервалима поверења).

Стандардна грешка средње вредности

Популација

Стандардна грешка средње вредности (СЕМ) се може изразити као:

${\sigma }_{\bar {x}}\ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

где је

σ - стандардна девијација популације.

n - величина (број опсервација) узорка.

Процена

Будући да је популациона стандардна девијација ретко позната, стандардна грешка средње вредности обично се процењује као стандардна девијација узорка подељена са квадратним кореном величине узорка (под претпоставком статистичке независности вредности у узорку).

${\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {s}{\sqrt {n}}}$

где је

s - стандарцна девијација узорка (и.е., процена базирана на узорку стандардне девијације популације), и

n - величина (број опсервација) узорка.

Пример

У оним контекстима у којима је стандардна грешка средње вредности дефинисана не као стандардна девијација средње вредности узорка, већ као њена процена, та се процена типично даје као њена вредност. Стога је уобичајено да се стандардна девијацију средње вредности алтернативно дефинише као:

${\text{s}}_{\bar {x}}\ ={\frac {s}{\sqrt {n}}}$

Стандардна девијација просечне вредности узорка једнака је стандардној девијацији грешке у средњој вредности узорка у односу на праву средњу вредност, јер је средња вредност узорка непристрани процењивач. Стога се стандардна грешка средње вредности може разумети и као стандардна девијација грешке у средњој вредности узорка у односу на праву средњу вредност (или процену те статистике).

Напомена: стандардна грешка и стандардна девијација малих узорака имају тенденцију да систематски потцењују популациону стандардну грешку и стандардну девијацију: стандардна грешка средње вредности је пристрани процењивач популационе стандардне грешке. Са n = 2, подцењивање је око 25%, дој је за n = 6, подцењивање је само 5%. Гурланд и Трипати (1971) дају корекцију и једначину овог ефекта. Сокал и Рохлф (1981) дају једначину корекцијског фактора за мале узорке од n < 20. Погледајте непристрасну процену стандардне девијације за даљу дискусију.

Практични резултат: Смањење неизвесности у процени средње вредности за фактор два захтева добијање четири пута више опажања у узорку. Или за смањење стандардне грешке за десет пута потребно је сто пута више опажања.

Деривације

Главни чланак: Варианса § Сума некорелираних променљивих (Бјенемеова формула)

Формула се може извести из варијансе суме независних рандомних променљивих.

• Ако су $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $n$ независних опсервација из популације која има средњу вредност $\mu$ и стандардну девијацију $\sigma$, онда је $n\sigma ^{2}$ варијанса тотала $T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})$.
• Варијанса од $T/n$ (средње вредности ${\bar {x}}$) је $n\left({\frac {\sigma ^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$ Алтернативно, ${\text{var}}({\frac {T}{n}})={\frac {1}{n^{2}}}{\text{var}}(T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$
• Стандардна девијација од $T/n$ је $\sigma /{\sqrt {n}}$

Независне и идентично дистрибуиране рандомне променљиве са рандомном величином узорка

Постоје случајеви када се узима узорак, а да се унапред не зна колико ће опажања бити прихватљива према неком критеријуму. У таквим случајевима, величина узорка N је рандомна променљива чија варијација се додаје варијацији X, тако да

Var(T) = E(N)Var(X) + Var(N)E²(X).

Ако N има Пуасонову дистрибуцију, онда је E(N) = Var(N) са процењивачем N=n. Стога процењивач за Var(T) постаје nS²_X + nXbar² дајући

стандардна грешка(Xbar) = √[(S²_X + Xbar²)/n].

Студентова апроксимација кад је σ вредност непозната

Главни чланак: Студентова т-дистрибуција § Интервал поверења

У многим практичним апликацијама права вредност σ није позната. Консеквентно, неопходно је да се користи дистрибуцију која узима у обзир опсег могућих σ вредности. Када је познато да је истинска исходишна дистрибуција Гаусијан, иако са непознатим σ, тада добијена процењена дистрибуција следи Студентову т-дистрибуцију. Стандардна грешка је стандардна девијација Студентове т-дистрибуције. Т-дистрибуције се донекле разликују од Гаусове и варирају у зависности од величине узорка. Мали узорци у извесној мери вероватније могу да доведу до подцењивања популационе стандардне девијације и имају средњу вредност која се разликује од стварне популационе средње вредности. Студентова т-дистрибуција даје вероватноћу ових догађаја с нешто тежим реповима у поређењу са Гаусовом. За процену стандардне грешке Студентове т-дистрибуције довољно је да се користи узорковање стандардне девијације s умјесто σ, и то се може користити за израчунавање интервала поверења.

Напомена: Студентова расподела вероватноће је добра апроксимација за Гаусову расподелу кад је величина узорка већа од 100. За такве узорке може се користити потоња расподела, која је знатно једноставнија.

Види још

• Коефицијент варијације
• Илустрација централне граничне теореме
• Вероватна грешка
• Пондерисана аритметичка средина
• Средња вредност и коваријанса узорка
• Варијанса

Литература

• Едwардс, А.W.Ф (2002). Пасцал'с аритхметицал триангле: тхе сторy оф а матхематицал идеа (2нд изд.). ЈХУ Пресс. ИСБН 0-8018-6946-3. 
• Хуyгенс, Цхристиаан (1657). Де ратиоциниис ин лудо алеæ (Енглисх транслатион, публисхед ин 1714). 
• Блитзстеин, Јое; Хwанг, Јессица (2014). Интродуцтион то Пробабилитy. ЦРЦ Пресс. ИСБН 9781466575592. 
• Фристедт, Берт; Граy, Лаwренце (1996). А модерн аппроацх то пробабилитy тхеорy. Бостон: Биркхäусер. ИСБН 3-7643-3807-5. 
• Калленберг, Олав (1986). Рандом Меасурес (4тх изд.). Берлин: Академие Верлаг. ИСБН 0-12-394960-2. МР 0854102. 
• Калленберг, Олав (2001). Фоундатионс оф Модерн Пробабилитy (2нд изд.). Берлин: Спрингер Верлаг. ИСБН 0-387-95313-2. 
• Папоулис, Атханасиос (1965). Пробабилитy, Рандом Вариаблес, анд Стоцхастиц Процессес (9тх изд.). Токyо: МцГраw–Хилл. ИСБН 0-07-119981-0. 
• Yатес, Даниел С.; Мооре, Давид С; Старнес, Дарен С. (2003). Тхе Працтице оф Статистицс (2нд изд.). Неw Yорк: Фрееман. ИСБН 978-0-7167-4773-4. Архивирано из оригинала 2005-02-09. г. 
• „Рандом Вариаблес”. www.стат.yале.еду. Приступљено 2020-08-21. 
• Деккинг, Фредерик Мицхел; Крааикамп, Цорнелис; Лопухаä, Хендрик Паул; Меестер, Лудолф Ерwин (2005). „А Модерн Интродуцтион то Пробабилитy анд Статистицс”. Спрингер Теxтс ин Статистицс (на језику: енглески). ИСБН 978-1-85233-896-1. ИССН 1431-875X. дои:10.1007/1-84628-168-7. 
• L. Цастаñеда; V. Арунацхалам; С. Дхармараја (2012). Интродуцтион то Пробабилитy анд Стоцхастиц Процессес wитх Апплицатионс. Wилеy. стр. 67. ИСБН 9781118344941. 
• Бертсекас, Димитри П. (2002). Интродуцтион то Пробабилитy. Тситсиклис, Јохн Н., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Белмонт, Масс.: Атхена Сциентифиц. ИСБН 188652940X. ОЦЛЦ 51441829. 
• Странг, Гилберт; Борре, Кае (1997). Линеар алгебра, геодесy, анд ГПС (на језику: енглески). Wеллеслеy-Цамбридге Пресс. стр. 301. ИСБН 9780961408862. 
• Коцх, Карл-Рудолф (2013). Параметер Естиматион анд Хyпотхесис Тестинг ин Линеар Моделс (на језику: енглески). Спрингер Берлин Хеиделберг. Сецтион 3.2.5. ИСБН 9783662039762. 
• Сенн, С.; Рицхардсон, W. (1994). „Тхе фирст т-тест”. Статистицс ин Медицине. 13 (8): 785—803. ПМИД 8047737. дои:10.1002/сим.4780130802. 
• Хогг РВ, Цраиг АТ (1978). Интродуцтион то Матхематицал Статистицс (4тх изд.). Неw Yорк: Мацмиллан. АСИН Б010WФО0СА. 
• Венаблес, W. Н.; Риплеy, Б. D. (2002). Модерн Апплиед Статистицс wитх С (Фоуртх изд.). Спрингер. 
• Гелман, Андреw; Јохн Б. Царлин; Хал С. Стерн; Доналд Б. Рубин (2003). Баyесиан Дата Аналyсис (Сецонд изд.). ЦРЦ/Цхапман & Халл. ИСБН 1-58488-388-X. 

Спољашње везе

• Матхематица демонстратион схоwинг тхе самплинг дистрибутион оф вариоус статистицс (е.г. Σx²) фор а нормал популатион