Generalizovana sredina

U matematici, generalizovana sredina (ili srednja moć ili Helderova sredina od Ota Heldera) su porodica funkcija za agregiranje skupova brojeva. Ovo uključuje kao posebne slučajeve Pitagorine sredine (aritmetičke, geometrijske i harmonijske sredine).

Definicija

Ako je r realan broj različit od nule, i $x_{1},\dots ,x_{n}$ su pozitivni realni brojevi, onda je generalizovana sredina ili srednja snaga sa eksponentom r ovih pozitivnih realnih brojeva:

$$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.$$

Za p = 0 postavljamo ga jednakim geometrijskoj sredini (koja je granica srednje vrednosti sa eksponentima koji se približavaju nuli, kao što je dokazano u nastavku):

$$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$$

Štaviše, za niz pozitivnih težina w_i definišemo ponderisanu srednju snagu kao:

$$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}$$

a kada je p = 0, jednaka je ponderisanoj geometrijskoj sredini:

$$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.$$

Neponderisana sredstva odgovaraju postavljanju svih w_i = 1/n.