Gram—Šmitov postupak ortonormalizacije

Gram—Šmitov postupak ortonormalizacije je metod u linearnoj algebri, koji služi za ortogonalizaciju i normiranje skupa vektora u zadatom euklidskom prostoru.

Postupak je sledeći. Uzmimo na primer vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rⁿ, sa bazom {v₁, v₂, ... ,v_n}, Gram-Šmitovim postupkom ortogonalizacije možemo da transformišemo bazu {v_i} u ortonormiranu bazu, {u_i}. Prvo normalizujemo v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Zatim izračunavamo w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, pa normalizujemo w₂: u₂=w₂/||w₂||

Ovaj postupak primenimo za sve vektore iz baze {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ i u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Vektori {u₁, ... ,v_n} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora Rⁿ.

Primer

Uzmimo sledeći skup vektora u Rⁿ (sa uobičajenim skalarnim proizvodom)

$S=\left\lbrace \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace .$

Sada primenimo Gram-Šmitov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

$\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{({3 \atop 1})}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}.$

Proverimo vektore u₁ i u₂ kako bismo utvrdili da su stvarno ortogonalni:

$\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.$

Sada možemo i da ih normalizujemo, tako što ćemo ih podeliti sa njihovim dužinama:

Prvi koraci Gram-Šmitovog postupka.

$\mathbf {e} _{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.$