Грам—Шмитов поступак ортонормализације

Из Википедије, слободне енциклопедије

Грам—Шмитов поступак ортонормализације је метод у линеарној алгебри, који служи за ортогонализацију и нормирање скупа вектора у задатом еуклидском простору.

Поступак је следећи. Узмимо на пример векторски простор произвољне димензије Rn, са базом {v1, v2, ... ,vn}, Грам-Шмитовим поступком ортогонализације можемо да трансформишемо базу {vi} у ортонормирану базу, {ui}. Прво нормализујемо v1: u1=v1/||v1||.

Затим израчунавамо w2=v2-<v2,u1>u1, па нормализујемо w2: u2=w2/||w2||

Овај поступак применимо за све векторе из базе {vi}: wi+1=vi+1-<vi+1,uiui>- ... - <vi+1,u1>u1 и ui+1=wi+1/||wi+1||. Вектори {u1, ... ,vn} су линеарно независни, и стога чине базу векторског простора Rn.

Пример[уреди]

Узмимо следећи скуп вектора у Rn (са уобичајеним скаларним производом)

Сада применимо Грам-Шмитов поступак како бисмо добили ортогонални скуп вектора:

Проверимо векторе u1 и u2 како бисмо утврдили да су стварно ортогонални:

Сада можемо и да их нормализујемо, тако што ћемо их поделити са њиховим дужинама:

Први кораци Грам-Шмитовог поступка.