Greška u aproksimaciji

Greška u aproksimaciji u nekim podacima je razlika između tačne vrednosti i neke približne vrednosti. Greška aproksimacije može se dogoditi zato što:

1. merenje podataka nije precizno zbog instrumenata. (npr., tačno čitanje papira je 4,5 cm, ali pošto se ne koriste decimale, zaokružite ga na 5 cm.
2. aproksimacije se koriste umesto realnih podataka (npr., 3.14 umesto π).

U matematičkom polju numeričke analize, numerička stabilnost algoritma pokazuje kako se greška propagira putem algoritma.

Formalna definicija

Apsolutna greška i relativna greška se često razlikuju.

S obzirom na vrednost V i njegovu aproksimaciju $V_{approx}$, apsolutna greška je

$\epsilon =|v-v_{\text{approx}}|\ ,$

gde vertikalne šipke označavaju apsolutnu vrednost. Ako je $V\neq 0$, relativna greška je

$\eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|,$

i procentna greška je

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times {\frac {\epsilon }{|v|}}=100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

Prema rečima, apsolutna greška je veličina razlike između tačne vrednosti i aproksimacije. Relativna greška je apsolutna greška podeljena sa veličinom tačne vrednosti. Greška procenta je relativna greška izražena u smislu od 100.

Generalizacija

Ove definicije se mogu proširiti na slučaj kada su V i $V_{approx}$ približni n-dimenzionalni vektori, zamenom apsolutne vrednosti sa n-normom.</ref>

Primeri

Kao primer, ako je tačna vrednost 50 i aproksimacija je 49,9, onda je apsolutna greška 0,1, a relativna greška je 0,1 / 50 = 0,002 = 0,2%. Još jedan primer bi bio da, ako je merenje 6 mL čaše, pročitana vrednost bila je 5 mL. Tačno čitanje je 6 mL, to znači da je greška procenata u toj konkretnoj situaciji zaokružena, 16,7%.

Upotreba relativne greške

Relativna greška se često koristi za upoređivanje aproksimacija brojeva široko različitih veličina; na primer, aproksimiranje broja 1000 sa apsolutnom greškom od 3 je, u većini aplikacija, puno gora od aproksimacije broja 1.000.000 sa apsolutnom greškom od 3; u prvom slučaju relativna greška je 0,003, a u drugom je samo 0.000003.

Postoje dve karakteristike relativne greške koje treba imati u vidu. Prvo, relativna greška je nedefinirana kada je prava vrednost nula, kako se pojavljuje u imenitelju (vidi dole). Drugo, relativna greška ima smisla samo kada se meri na meru odnosa (tj. Skali koja ima istinsku smislenu nulu), inače bi bilo osetljivo na merne jedinice. Na primer, kada je apsolutna greška pri merenju temperature datoj u skali Celzijusa 1 °C, a stvarna vrednost je 2 °C, relativna greška je 0,5, a procentualna greška je 50%. Za isti slučaj, kada je temperatura data u Kelvinovoj skali, ista apsolutna greška od 1 K sa istom istinskom vrednošću od 275,15 K daje relativnu grešku 3,63 × 10-3 i procentualnu grešku od samo 0,363%. Temperatura Celzijusa se meri na intervalnoj skali, dok Kelvinova skala ima istinitu nulu, a tako je i razmera.

Instrumenti

U većini pokazateljskih instrumenata, tačnost se garantuje određenim procentom čitanja u punoj veličini. Ograničenja ovih odstupanja od navedenih vrednosti poznate su kao ograničavajuće greške ili garantne greške.

Vidi još

• Kvantizacija (obrada signala)
• Greška merenja

Literatura

• Helfrick, Albert D.; Cooper, William D. (2005). Modern Electronic Instrumentation and Measurement Techniques. str. 16. ISBN 978-81-297-0731-4. 
• Golub, Gene (1996). Matrix computations. Van Loan, Charles F. (3. izd.). Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5413-2. OCLC 34515797. 

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. "Percentage error". MathWorld.