Dekartov list

Dekartov list

Dekartov list je algebarska kriva definisana jednačinom:

$x^{3}+y^{3}-3axy=0\,$.

Parametar $3a$ predstavlja dijagonalu kvadrata, čija strana je jednaka najvećoj dužini petlje (pogledati sliku).

Jednačine

Dekartov list u pravougaonom sistemu je:

$\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy$

a u polarnim koordinatama je:

$r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.$

U parametarskom obliku mogu da se napišu kao:

$x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}$.

Svojstva

• Os ismetrije krive je prava $OA$ je jednačina :$y=x$.
• Tačka A naziva se vrhom, a njene koordinate su:$\left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)$.
• Asimptota je prava $UV$, čija jednačina je: $x+y+a=0$.
• Površina zatvorene oblasti je$\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$
• Površina između krive i asimptote je $\textstyle S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Zakrenuti Dekartov list

Zakrenuti Dekartov list

Dekartov list može da se zakrene rotacijom za $135^{\circ }$, pa se tada dobija zakrenuti Dekartov list, čija je jednačina u Dekartovom sistemu:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$, gde $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$

• Parametarski oblik zakrenutoga lista je:

$x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1}},\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t^{2}+1}}$

• Polarni prikaz zakrenutoga lista je:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$

Izvod zakrenutoga lista

Izvod zakrenutoga Dekartovoga lista počinjemo tako da najpre izvedemo rotaciju za $\alpha ={\frac {-3\pi }{4}}$, pa je

$\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$

$\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$, ili

$\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$

$\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$.

Posle zamene starih koordinata novima dobija se:

$v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{a-u{\sqrt {2}}}}$.

Uvodimo parametar $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$, pa se uvršavajući u poslednju jednačinu dobija:

$v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u}}$

ili

$v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u}}}$.

Zamenimo li u i v sa x i y dobija se Dekartov list u novim koordinatama:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$

Prelazimo u polarni sistem sledećom zamenom: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$ tako da dobijamo:

$\rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi }}}$.

Rešavajući jednačinu po $\rho$ dobijamo:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$.

Literatura

• Dekartov list