Декартов лист

Декартов лист

Декартов лист је алгебарска крива дефинисана једначином:

$x^{3}+y^{3}-3axy=0\,$.

Параметар $3a$ представља дијагоналу квадрата, чија страна је једнака највећој дужини петље (погледати слику).

Једначине

Декартов лист у правоугаоном систему је:

$\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy$

а у поларним координатама је:

$r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.$

У параметарском облику могу да се напишу као:

$x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}$.

Својства

• Ос исметрије криве је права $OA$ је једначина :$y=x$.
• Тачка A назива се врхом, а њене координате су:$\left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)$.
• Асимптота је права $UV$, чија једначина је: $x+y+a=0$.
• Површина затворене области је$\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$
• Површина између криве и асимптоте је $\textstyle S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Закренути Декартов лист

Закренути Декартов лист

Декартов лист може да се закрене ротацијом за $135^{\circ }$, па се тада добија закренути Декартов лист, чија је једначина у Декартовом систему:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$, где $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$

• Параметарски облик закренутога листа је:

$x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1}},\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t^{2}+1}}$

• Поларни приказ закренутога листа је:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$

Извод закренутога листа

Извод закренутога Декартовога листа почињемо тако да најпре изведемо ротацију за $\alpha ={\frac {-3\pi }{4}}$, па је

$\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$

$\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$, или

$\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$

$\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$.

После замене старих координата новима добија се:

$v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{a-u{\sqrt {2}}}}$.

Уводимо параметар $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$, па се увршавајући у последњу једначину добија:

$v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u}}$

или

$v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u}}}$.

Заменимо ли u и v са x и y добија се Декартов лист у новим координатама:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$

Прелазимо у поларни систем следећом заменом: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$ тако да добијамо:

$\rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi }}}$.

Решавајући једначину по $\rho$ добијамо:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$.

Литература

• Декартов лист