De Mereov paradoks

Teorija verovatnoće predstavlja granu matematike koja se bavi "slučajnim procesima i događajima u prirodi. Ova teorija vuče korene iz posmatranja kockarskih igara sa početka 17. veka. De Mero je bio kockar koji je posmatrao popularnu igru bacanja tri kockice. De Mere je konstantovao da češće pada zbir 11 nego zbir 12, dok je broj ishoda koji dovode do ovih suma jednak

Privatni život

Antoan Gombo, Ševalijer De Mere (1607-1684), bio je francuski pisac. Iako nije bio plemić, preuzeo je titulu ševalijera, odnosno viteza, za karakter u svojim dijalozima kada je iskazivao svoj stav.

De Mere je bio važan teoretičar 17. veka. Istovremeno je odbacivao i nasledno pravo na presto, ali i demokratiju. Smatrao je da vlast treba da reši pitanja kroz otvoreni razgovor učenih ljudi.

Najpoznatiji je ostao nauci u svom doprinosu teoriji verovatnoće. Jedan od problema u koji je bio uključen je bio problem tačaka. Ako uzmemo da dvoje igrača igra određen broj igara, na primer, najbolji od sedam i bili su prekinuti u sred igre, pre kraja. Kako će podeliti ulog, ako je jedan osvojio tri igre, a drugi samo jednu. Sledeći problem koji se javljao jeste danas poznat u statistici kao De Mereov paradoks.

Paradoks

Prvo postavljamo pitanje, šta je od od sledećih ponuđenih više moguće:

1. Da se dobije barem jedna šestica u četiri pokušaja bacanja kockice.
2. Da se dobije barem jedna dupla šestica u 24 bacanja para kockica.

Ševalijer de Mere je verovao da ova dva moraju biti jednaka, na osnovu sledećeg razmišljanja:

1. Dobijanje para šestica u jednom bacanju para kockica ima istu verovatnoću kao dobijanje dve šestice u dva bacanja jedne kockice.
2. Verovatnoća da se dobiju dve šestice u dva bacanja je 1/6 , kao i verovatnoća da se dobije jedna šestica u jednom bacanju.
3. Da bi se dobilo ovo, par kockica bi trebalo da se baci šest puta za svako bacanje jedne kockice, kako bi se dobila ista verovatnoća dobijanja para šestica.
4. Znači, bacanje para kockica šest puta više od broja bacanja jedne kockice bi trebalo da izjednači verovatnoće.
5. Tako da bacanje para kockica 24 puta bi trebalo za rezultat da ima onoliko duplih šestica koliko se može dobiti bacanjem jedne kockice 4 puta.

Međutim, prilikom klađenja da će dobiti dve šestice nakon 24 bacanja, De Mere je konstantno gubio. Pretočio je ovaj problem svom prijatelju, matematičaru Paskalu, koji je rešio paradoks.

Objašnjenje paradoksa

Bacanje kockica je eksperiment sa konačnim brojem mogućnosti za isti ishod. Pošto kockica ima šest strana, postoji šansa od 1/6 verovatnoće da se dobije šestica u prvom bacanju kockice. Takođe, postoji i mogućnost od 5/6 da se ne dobije šestica. Ako se kockica baci 4 puta, verovatnoća nedobijanja šestice raste po sledećoj jednačini:

$(1+{\frac {1}{6}})^{4}=\left({\frac {5}{6}}\right)^{4}$

Tako da postoji sledeća verovatnoća dobijanja šestice:

$\left({\frac {6}{6}}\right)-\left({\frac {5}{6}}\right)^{4}$

Aritmetički, verovatnoća dobijanja šestice je oko 0,5177, odnosno, pozitivnu verovatnoću dobijanja šestice.

Sada, ako se bacaju dve kockice, iz definicije nezavisnih događaja, postoji oko $\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{36}}\right)$ šanse da se pojavi šestica . Gledajući raniju pretpostavku, dolazimo do zaključka da je verovatnoća da se šestica ne pojavi $\left({\frac {35}{36}}\right)$

Postavljanjem formule verovatnoće dobijanja barem jednog para šestica u 24 bacanja vidimo da:

$\left({\frac {36}{36}}\right)-\left({\frac {35}{36}}\right)^{24}$ odnosno, aritmetički je oko 0,4914, tj, veća je verovatnoća da se ne dobije par šestica u 24 bacanja.

Ovaj paradoks spada u veridalne paradokse, koji su suprotno intuiciji i gde su šanse raspoređene drugačije od onoga što se očekuje da će se desiti.