Korisnik:EM1114/pesak

Spread

Širenje daje jednu meru razdvajanju dve linije kao jedan bezdimenzionalni broj u opsegu [0,1] (od paralelnog do vertikalnog) za euklidsku geometriju. On zamenjuje koncept (i ima nekoliko razlika od) ugla koji se razmatra u odeljku koji sledi. Opisi širenja mogu uključivati:

• Trigonometrijski (najosnovniji): sinusni odnos kvadranata u pravom trouglu, ekvivalent kvadratu sinusa ugla (levo). Proširivanjem susedne strane AC formira deo prečnika jedinice u krugu i uzimajući u obzir slične trouglove, širenje se može meriti kao dužina (ili odnos prema prečniku) spoljašnjeg segmenta - više tradicionalno jednak pola puta (1 minus kosinus dvostrukog ugla kod A) ili haversine.
• Vektor: kao racionalna funkcija kosih (i relativnog pravca) parnih linija gde se sreću.
• Kartezijanski: kao racionalna funkcija tri koordinate korišćene za pripisivanje dva vektora.

• Linearna algebra (iz tačkastog proizvoda): normalizovana racionalna funkcija: kvadrat determinante dva vektora (ili para linija koje se ukrštaju) koje formiraju matricu podeljenu proizvodom njihovih kvadranata.

Izračunato širenje

Trigonometrijski

Pretpostavimo da se dve linije, l1 i l2, seku u tački A kao što je prikazano desno. Izaberite tačku B ≠ A na l1 i neka je C podnožje vertikale od B do l2. Onda je širenje s:

Vektor / nagib (dve-varijante)

Kao i ugao, širenje zavisi samo od relativnih nagiba dve linije (stalni termini se eliminišu) i invarijantno je pod prevodom (tj. Sačuvano je kada se linije pomeraju paralelno sa samim sobom). Dakle,data su dva reda čije su jednačine:

a1x+b1y=const i a2x+b2y=const

možemo ih prepisati kao dve linije koje se sastaju na početku (0, 0) sa jednačinama:

a1x+b1y=0 i a2x+b2y=0

U ovoj poziciji tačka (−b1, a1) zadovoljava prvu jednačinu i (- b2, a2) zadovoljava drugu i tri tačke (0, 0), (−b1, a1) i (−b2, a2) formirajući širiny koja će dati tri kvadranta:

Krsni zakon - vidi dole - u smislu širenja

Ovo pojednostavljuje, u brojniku, davanje:

(S je izraz za krst, kvadrat kosinusa bilo kog ugla između para linija ili vektora, koji daje svoje ime ukrštenom zakonu.)

Zatim, koristeći Brahmagupta–Fibonacci identitet

Standardni izraz za rasprostiranje u smislu nagiba (ili pravaca) dviju linija postaje

U ovom obliku (i u njegovom kartezijanskom ekvivalentu koji sledi) raširenost je odnos kvadrata determinante dva vektora (numeratora) prema proizvodu njihovih kvadranata (nazivnik)

Cartesian (tri varijante)

Ovo zamenjuje (- b1, a1) sa (x1, y1), (- b2, a2) sa (x2, y2) i poreklom (0, 0), kao tačku preseka dve linije, sa (x3, y3) ) u prethodnom rezultatu

Širenje u odnosu na ugao

Za razliku od ugla, kojim se može definisati odnos između zraka koji zrače iz tačke, parametrizacijom merenja luka, i gde se par linija može smatrati kao četiri parova, formirajući četiri ugla, 'širenje' je fundamentalnije u racionalnoj trigonometriji, opisujući dve linije jednim merilom racionalne funkcije (vidi gore). Budući da je ekvivalent kvadratu sinusa odgovarajućeg ugla θ (i haversine dvostrukog ugla na bazi akorda Δ = 2θ), širenje oba ugla i njegovog dodatnog ugla su jednaki.

Umesto toga, (podsećajući na dopunsko svojstvo) dva jednaka, ko-terminalna širenja određuju treći raspon, čija će vrednost biti rešenje formule trostrukog širenja za trokut (ili tri istovremene linije) koje imaju razmake s, s y

Pronalaženje trostruke širine isto tako koristi formulu trostrukog širenja kao kvadratnu jednačinu u nepoznatom trećem rasponu koji tretira poznata širenja s i r (prethodno rešenje) kao konstante. Ovo se ispostavlja (nakon eliminisanja 'manjih' rešenja) da bude

Dalji višekratnici bilo kog osnovnog rasprostiranja linija mogu biti generisani nastavkom upotrebe formule trostrukog širenja na ovaj način, ili korišćenjem formule rekurzije (vidi dole) koja se primenjuje indirektno. Dok će bilo koji višak raspona koji je racionalan biti polinom u tom rasponu (i stoga racionalan), u suprotnom se ne primenjuje. Na primer, po formuli polu-ugla, dve linije koje se nalaze pod uglom od 15 ° (ili 165 °) proširile su se.

I tako postoji algebarsko proširenje racionalnih brojeva.