Корисник:EM1114/песак

Spread

Ширење даје једну меру раздвајању две линије као један бездимензионални број у опсегу [0,1] (од паралелног до вертикалног) за еуклидску геометрију. Он замењује концепт (и има неколико разлика од) угла који се разматра у одељку који следи. Описи ширења могу укључивати:

• Тригонометријски (најосновнији): синусни однос квадраната у правом троуглу, еквивалент квадрату синуса угла (лево). Проширивањем суседне стране АC формира део пречника јединице у кругу и узимајући у обзир сличне троуглове, ширење се може мерити као дужина (или однос према пречнику) спољашњег сегмента - више традиционално једнак пола пута (1 минус косинус двоструког угла код А) или haversine.
• Вектор: као рационална функција косих (и релативног правца) парних линија где се срећу.
• Картезијански: као рационална функција три координате коришћене за приписивање два вектора.

• Линеарна алгебра (из тачкастог производа): нормализована рационална функција: квадрат детерминанте два вектора (или пара линија које се укрштају) које формирају матрицу подељену производом њихових квадраната.

Израчунато ширење

Тригонометријски

Претпоставимо да се две линије, l1 и l2, секу у тачки А као што је приказано десно. Изаберите тачку B ≠ А на l1 и нека је C подножје вертикале од B до l2. Онда је ширење s:

Вектор / нагиб (две-варијанте)

Као и угао, ширење зависи само од релативних нагиба две линије (стални термини се елиминишу) и инваријантно је под преводом (тј. Сачувано је када се линије померају паралелно са самим собом). Дакле,дата су два реда чије су једначине:

a1x+b1y=const i a2x+b2y=const

можемо их преписати као две линије које се састају на почетку (0, 0) са једначинама:

a1x+b1y=0 i a2x+b2y=0

У овој позицији тачка (−b1, а1) задовољава прву једначину и (- b2, а2) задовољава другу и три тачке (0, 0), (−б1, а1) и (−б2, а2) формирајући ширинy koja ће дати три квадранта:

Крсни закон - види доле - у смислу ширења

Ово поједностављује, у бројнику, давање:

(S је израз за крст, квадрат косинуса било ког угла између пара линија или вектора, који даје своје име укрштеном закону.)

Затим, користећи Brahmagupta–Fibonacci идентитет

Стандардни израз за распростирање у смислу нагиба (или праваца) двију линија постаје

У овом облику (и у његовом картезијанском еквиваленту који следи) раширеност је однос квадрата детерминанте два вектора (нумератора) према производу њихових квадраната (називник)

Cartesian (три варијанте)

Ово замењује (- b1, а1) са (x1, y1), (- b2, а2) са (x2, y2) и пореклом (0, 0), као тачку пресека две линије, са (x3, y3) ) у претходном резултату

Ширење у односу на угао

За разлику од угла, којим се може дефинисати однос између зрака који зраче из тачке, параметризацијом мерења лука, и где се пар линија може сматрати као четири парова, формирајући четири угла, 'ширење' је фундаменталније у рационалној тригонометрији, описујући две линије једним мерилом рационалне функције (види горе). Будући да је еквивалент квадрату синуса одговарајућег угла θ (и haversine двоструког угла на бази акорда Δ = 2θ), ширење оба угла и његовог додатног угла су једнаки.

Уместо тога, (подсећајући на допунско својство) два једнака, ко-терминална ширења одређују трећи распон, чија ће вредност бити решење формуле троструког ширења за трокут (или три истовремене линије) које имају размаке s, s y

Проналажење троструке ширине исто тако користи формулу троструког ширења као квадратну једначину у непознатом трећем распону који третира позната ширења s и r (претходно решење) као константе. Ово се испоставља (након елиминисања 'мањих' решења) да буде

Даљи вишекратници било ког основног распростирања линија могу бити генерисани наставком употребе формуле троструког ширења на овај начин, или коришћењем формуле рекурзије (види доле) која се примењује индиректно. Док ће било који вишак распона који је рационалан бити полином у том распону (и стога рационалан), у супротном се не примењује. На пример, по формули полу-угла, две линије које се налазе под углом од 15 ° (или 165 °) прошириле су се.

И тако постоји алгебарско проширење рационалних бројева.