Paradoks dva kondenzatora

Kolo sa paradoksom, sa početnim naponima (pre nego što je prekidač zatvoren)

Paradoks dva kondenzatora ili paradoks kondenzatora je paradoks ili kontraintuintivni misaoni eksperiment u teoriji električnih kola. Misaoni eksperiment se obično opisuje na sledeći način: Dva identična kondenzatora spojena su paralelno sa otvorenim prekidačem između njih. Jedan od kondenzatora je opterećen naponom $V_{i}$, a drugi je neopterećen. Kad se prekidač zatvori, deo naelektrisanja $Q=CV_{i}$ sa prvog kondenzatora pređe na drugi, smanjujući napon na prvom i povećavajući napon na drugom. Kad se postigne stanje ravnoteže i jačina struje postane nula, naponi na kondenzatorima moraju biti jednaki jer su im krajevi spojeni. Pošto oba imaju isti kapacitet $C$ kondenzatori će imati jednako naelektrisanje ${Q \over 2}$ i napon $V_{f}={Q \over 2C}={V_{i} \over 2}$. Na početku eksperimenta ukupna početna energija $W_{i}$ u kolu je energija skladištena u opterećenom kondenzatoru:

$W_{i}={1 \over 2}CV_{i}^{2}$.

Na kraju eksperimenta konačna energija $W_{f}$ je jednaka zbiru energija na kondenzatorima:

$W_{f}={1 \over 2}CV_{f}^{2}+{1 \over 2}CV_{f}^{2}=CV_{f}^{2}=C({V_{i} \over 2})^{2}={1 \over 4}CV_{i}^{2}={1 \over 2}W_{i}$

Ova konačna energija $W_{f}$ je jednaka polovini početne energije $W_{i}$. Gde je druga polovina početne energije nestala?

Rešenja problema

Ovo je stari problem o kome se intenzivno raspravljalo u literaturi o elektronici. Za razliku od nekih drugih paradoksa u nauci, ovaj paradoks nije posledica osnovne fizike, već ograničenja konvencija „idealnog kola” korišćenih u teoriji kola. Gorenavedeni opis nije fizički ostvariv ako se pretpostavlja da je sklop napravljen od idealnih elemenata kola, kao što je uobičajeno u teoriji kola. Ako su žice koje povezuju dva kondenzatora, prekidač i sami kondenzatori idealizovani kao da nemaju električni otpor ili induktivitet kao što je uobičajeno, zatvaranje prekidača bi povezalo tačke različitog napona sa savršenim provodnikom, prouzrokujući beskonačnu struju. Stoga rešenje zahteva da se jedna ili više „idealnih” karakteristika elemenata u kolu ne poštuju dosledno, što nije navedeno u gornjem opisu. Rešenje se razlikuje u zavisnosti od pretpostavki o stvarnim karakteristikama elemenata kola:

• Ako se pretpostavi da žice imaju induktivnost, ali nemaju otpor, struja neće biti beskonačna, ali kolo i dalje nema komponente koje troše energiju, tako da neće doći u stabilno stanje, kao što je pretpostavljeno u opisu. Nastaće Oscilatorno kolo bez prigušenja, pa će naelektrisanje neprestano oscilovati između dva kondenzatora; napon na kondenzatorima i struja će varirati sinusoidno. Početna energija neće biti izgubljena, u bilo kojem trenutku zbir energije u dva kondenzatora i energije smeštene u magnetnom polju oko žica biće jednak početnoj energiji.
• Ako se pretpostavi da uz povezivanje žica, osim što imaju induktivnost i nemaju otpor, imaju ne-nultu dužinu, oscilujuće kolo će delovati kao antena i izgubiti energiju zračenjem elektromagnetnim talasima (radio talasi). Učinak ovog gubitka energije potpuno je isti kao da je u krugu postojao otpor, pa će kolo biti ekvivalentno RLC kolu. Oscilujuća struja će sinusoidno eksponencijalno padati. Pošto nije izgubljeno nijedno prvobitno naelektrisanje, krajnje stanje kondenzatora biće kako je opisano gore, sa polovinom početnog napona na svakom kondenzatoru. Budući da u ovom stanju kondenzatori sadrže polovinu početne energije, nedostajuća polovina energije je zračena u okolinu elektromagnetnim talasima.
• Ako se pretpostavi da žice imaju neki nulti otpor, to je RC kolo, a struja će eksponencijalno pasti na nulu. Kao i u prethodnom slučaju, pošto se ne gubi naelektrisanje, kolo će preći u statičko konačno stanje kao što je gore opisano. Pošto u ovom stanju kondenzatori imaju zajedno polovinu energije, bez obzira na količinu otpora, polovina početne energije je zračena kao toplota usled otpornosti žice.
• Ako osim otpora i induktivnosti, žice imaju ne-nultu dužinu i deluju kao antena, ukupni gubitak energije će biti isti, ali biće podeljen između zračenja elektromagnetnih talasa i toplote zračene usled otpornosti.

Razvijena su razna dodatna rešenja, zasnovana na detaljnijim pretpostavkama o karakteristikama komponenata.

Alternativne verzije

Postoji nekoliko alternativnih verzija paradoksa. Jedna je originalno kolo sa dva kondenzatora na početku opterećena jednakim i suprotnim naponima $+V_{i}$ i $-V_{i}$. Druga verzija je da je jedini kondenzator naelektrisan kratkim spojen pomoću idealnog provodnika. U ovim slučajevima u konačnom stanju svo naelektrisanje je neutralizovano, krajnji napon na kondenzatorima je nula, tako da je nestala celokupna početna energija. Rešenja o tome gde je otišla energija slična su onima opisanima u prethodnom odeljku.