Rešavanje trougla

Rešavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvek isti, 180°. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Moguće je konstruisati trougao dat težišnicom (medijanom) i dvema stranicama, ili stranicom, visinom i uglom, itd.

Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90 stepeni). Pri rešavanju oštrouglog trougla moguća su sledeća četiri slučaja:

date su tri strane (SSS);
date su dve strane i ugao između njih (SUS);
data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
date su dve strane i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su oni isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih zadataka i navesti bar po jednu formulu za proveru dobivenog rešenja.

Zadatak SSS: Date su tri stranice $a,\;b,\;c$ trougla. Naći njegove uglove.
1. način: Kosinusna teorema $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,$ daje ugao A, jer $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$ Sinusna teorema $a:\sin A=b:\sin B$ daće dalje ugao B, jer je $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}.$ Na kraju, treći ugao S možemo naći i kao suplement (suplementni uglovi se dopunjavaju do 180°) prethodna dva, tj. $C=180^{o}-(A+B).$ Formula za proveru je $a:sinA=c:\sin C.$

2. način: Prvo izračunati poluobim $p={\frac {a+b+c}{2}},$ zatim razlike $p-a,\;p-b,\;p-c,$ i tangensna teorema daće uglove:; $\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.$; Formula za proveru je $A+B+C=180^{o}.$

Ovaj zadatak ima jedinstveno rešenje jedino ako su zbirovi po dve od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. $a+b>c,\;b+c>a,\;c+a>b.$ Dakle, ako važi tzv. nejednakost trougla. Ako bar jedan od ovih uslova nije ispunjen onda uopšte nema rešenja.

Zadatak SUS: Date su dve strane $a,\;b\;(a>b)$ i ugao S. Naći stranicu s i uglove A, B.

Rešenje: Kosinusna teorema daje stranicu $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}.$ Sinusna teorema daće uglove. Iz a>b sledi da je ugao B oštar, pa prema tome prvo tražimo $\sin B={\frac {b\sin C}{c}},$ pa nalazimo ugao B, a onda ugao A koji je suplementan uglovima B, C, tj. $A=180^{o}-(B+C).$ Formula za proveru: $a:\sin A=b:\sin B.$

Zadatak ima jednistveno rešenje ako je $C<180^{o}.$

Zadatak USU: Data je stranica a i uglovi B i C. Naći stranice b, c i ugao A.

Rešenje: Prvo nalazimo ugao $A=180^{o}-(B+C).$ Zatim, sinusna teorema dva puta, daje: $b={\frac {a\sin B}{\sin A}},\;c={\frac {a\sin C}{\sin A}}.$ Formula za proveru je $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$ Zadatak ima jedinstveno rešenje ako je $B+C<180^{o}.$

Zadatak SSU: Date su dve stranice a, b i ugao A. Naći stranicu s i uglove B, C.

Rešenje: Sinusna teorema $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}$ daće ugao B. Zatim, ugao S nalazimo kao suplement uglovima A i B, tj. $C=180^{o}-(A+B).$ Na kraju, još jednom, sinusna teorema $c={\frac {a\sin C}{\sin A}},$ daje stranicu s. Formula za proveru: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$; Kada je a>b tada je $a>b\sin A,$ pa je $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}<1.$ Prema tome zadatak ima jedinstveno rešenje, jer je ugao B oštar nezavisno od toga kakav je ugao A.; Kada je a<b tada je A<B. Trougao je pravougli, ili, ako je $b\sin A<a,$ zadatak ima dva rešenja, jer se mogu dobiti dve vrednosti za ugao B, oštar i tup ugao. Treći ovaj slučaj, $b\sin A>a,$ tj. $\sin B>1,$ nema rešenje.; Kada je a=b tada je A<90° i B<90°. Zadatak tada ima jedinstveno rešenje.

Vidi još