Superelipsa

Superelipsa ili Lameova kriva je zatvorena kriva koja podseća na elipsu, zadržavajući geometrijske karakteristike polu-glavne ose i polu-male ose i simetrije oko njih ali drugačijeg oblika. Specijalni slučajevi ovih krivih, a pripadaju familiji superelipsa su: ruža- krive, super-ruža krive i superspirale.

Superelipse

Neka x i y Dekartove koordinate u ravni $\mathrm {E} ^{2}$. Tada je jednačina kruga poluprečnika r, čiji je centar u koordinatnom početku O data sa

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$,

i jednačina elipse sa poluosama $a$ i $b\neq {a}$ , sa centrom u koordinatnom početku O data sa

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

Francuski matematičar Gabriel Lamé (1795-1870), bavio se proučavanjem ovih krivih i uveo je familiju tzv. „superelipsi“. Prema Lameu, krugovi i elipse, isto kao kvadrati i pravougaonici, uključeni su u familiju tzv. „superelipsi“ tj. ravnih krivih datih Dekartovim jednačinama oblika

(1) $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1$

pri čemu su $a,b,n$  pozitivni brojevi.

Specifični slučajevi (Lameovih krivih)

Formula (1) definiše zatvorenu krivu koja se nalazi u pravougaoniku $-a\leq x\leq a$ i $-b\leq x\leq b$ . Parametri $a$ i $b$ se nazivaju poluprečnik krivine.

Kada je $n$  između 0 i 1, superelipsa ima oblik zvezde, dok za $n={\frac {1}{2}}$, kraci te zvezde su napravljeni od lukova parabole.

Ako je $n=1$, kriva je dijamant sa temenima ,${\bigl (}\pm a,0{\bigr )}$ i ${\bigl (}0,\pm b{\bigr )}$, ako je $n$ između 1 i 2, izgleda kao dijamant sa istim temenima ali sa konveksne (spolja zakrivljene) strane.

Ako je $n=2$  kriva je obična elipsa, a ako je $n$ veće od 2, ta površina izgleda kao pravougaonik sa uglovima.

• 
• 
• 

Matematička svojstva

Prelaskom na polarne koordinate $\rho$ i $\theta$, tako da je

${\begin{cases}\rho \cos \theta \\\rho \sin \theta \end{cases}}$

Gde uz to uvodeći koeficijent $m/4$ (koji dopušta uvođenje specifičnih rotacionih simetrija oko 0 od onih koji se odnose na četiri kvadranta koordinatnog sistema). Zamenom polarnih koordinata u jednačinu (1) dobijamo:

(2) $\rho =\{|{\frac {\cos mq/4}{a}}|^{n_{2}}+|{\frac {\sin mq/4}{b}}|^{n_{3}}\}^{-1/n_{1}}$

pri čemu $n_{1}\in R_{0},n_{2},n_{3}\in R$.

Ravne krive date pomoću polarne jednačine (2), pri čemu je u svakom slučaju $a=b$  prikazene su na slici 4.

Ravne krive date pomoću polarnih jednačina (2) mogu se u izvesnom smislu interpretirati, tako kao da su dobijene polazeći od jediničnog kruga sa centrom u 0, $\rho =1$, pomoću transformacije zadate desnom stranom jednačine (2) za bilo koji izbor parametra $a,b,m,n_{1},n_{2},n_{3}.$

Ove ravanske krive određene su pomoću polarnih jednačina $\rho =f(\theta )$ gde  u $f$ osnovi može biti proizvoljna pozitivna realna funkcija. Njihova polarna jednačina je:

(3) $\rho =f(\theta )\cdot \{|{\frac {\cos mq/4}{a}}|^{n_{2}}+|{\frac {\sin mq/4}{b}}|^{n_{3}}\}^{-1/n_{1}}$

Jednačina ruža- krive (Grandi) je

(4) $\rho =\rho (\theta )=\cos(2,50)$

Pomoću transformacije (3) sa parametrima $m=2,5,n_{1}=1/1,3,n_{2}=n_{3}=2,7$ i $m=2,5,n_{1}=n_{2}=n_{3}=5$ dobijamo super-ruža krive.

Jednačina logaritamske spirale je $\rho =f(\theta )=e^{0,2\theta }$. Pomoću transformacije (3) sa parametrima $m=4,n_{1}=n_{2}=n_{3}=100$ i $m=10,n_{1}=n_{2}=n_{3}=5$, dobijamo superspirale.

• 
• 
•