Triangulacija

U svojoj geometrijskoj interpretaciji triangulacija je proces određivanja apsolutne ili relativne pozicije neke tačke uz pomoć merenja uglova ka toj tački u odnosu na druge dve unapred poznate tačke (osnove). Ovaj pristup se razlikuje od trilateracije gde se razdaljina meri direktnim metodama.

Ovaj metod se zasniva na preciznom merenju dužine osnove i uglova ka željenoj tački, i primeni trigonometrijskih funkcija uz pomoć kojih se dobija pozicija i udaljenost do tražene tačke.

Primer triangulacije u ravni, računanje razdaljine do željene tačke uz pomoć dužine osnove i dva ugla

Slika 1. Razdaljina do željene tačke se može izračunati uz pomoć dva ugla α i β, i rastojanja l

U ovom primeru podrazumevamo relativno male razdaljine za l i d, za slučaj većih razdaljina (poredivih sa radijusom zemaljske kugle) se mora primeniti sferna trigonometrija (trigonometrija na sferi). Za male razdaljine (do nekoliko kilometara) se može iskoristiti sledeći račun:

$\ell ={\frac {d}{\tan \alpha }}+{\frac {d}{\tan \beta }}$

Dakle

$d=\ell \,/\,({\tfrac {1}{\tan \alpha }}+{\tfrac {1}{\tan \beta }})$

Koristeći trigonometrijske identitete tan α = sin α / cos α i sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, prethodni izraz postaje:

$d={\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell$

Istorija

Slika 2. (Lui Hui c. 263), kako izmeriti visinu ostrva, ilustracija iz izdanja iz 1726. godine

Triangulacija je poznata od antičkog doba, u VI veku pre nove ere grčki filozof Tales je izračunao visinu piramida tako što je izmerio dužinu piramidine senke u trenutku kada je dužina njegove sopstvene senke bila jednaka njegovoj visini (te je samim tim i visina piramide jednaka dužini piramidine senke, zbog sličnosti trouglova). Problemi ovog tipa su bili poznati drevnim egipćanima, na primer problem 57 sa Ahmesovog papirusa govori o ovome. Kineski kartograf i geograf Lui Hui je u III veku koristio triangulaciju za merenje visine nepristupačnih litica.

Literatura

• Bagrow, L. (1964) History of Cartography; revised and enlarged by R.A. Skelton. Harvard University Press.
• Crone, G.R. (1978 [1953]) Maps and their Makers: An Introduction to the History of Cartography (5th ed).
• Tooley, R.V. & Bricker, C. (1969) A History of Cartography: 2500 Years of Maps and Mapmakers
• Keay, J.. The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named. London: Harper Collins. 2000. ISBN 978-0-00-257062-6..
• Murdin, P.. Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-75533-5..