Trigonometrijski identiteti

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Kosinus i sinus oko jediničnog kruga.

U matematici trigonometrijski identiteti su ekvivalentni sa upotrebom trigonometrijskih funkcija i one važe za svaku vrednost promenljivih. Geometrijski, oni su identiteti koji uključuju određene funkcije jednog ili više uglova. Oni su posebni trigonometrijski identiteti, oni uključuju oba ugla dužine strana trougla. Samo neki su pomenuti u ovom članku.

Ovi identitei su korisni kada god imamo izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije, a treba da bude pojednostavljen. Bitan zahtev je integracija ne-trigonometrijskih funkcija : uobičajena tehnika uključuje prvobitno primenu pravila supstitucije na trigonometrijskim funkcijama, i onda pojednostavljivanje rezultata integrala sa trigonometrijskim identitemia.

Notacija[uredi]

Uglovi[uredi]

Ovaj članak koristi grčka slova kao što su alpha beta, gamma i theta da predstavi uglove. Nekoliko različitih jedinica su široko rasprostranjene, uklljučujući stepene, radijane i gradijane :

1 pun krug  = 360 stepeni = 2 radijana  =  400 gradijana.

Sledeća tabela pokazuje verziju nekih od uobičajenih uglova:

Degrees 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radians
Grads 33⅓ grad 66⅔ grad 133⅓ grad 166⅔ grad 233⅓ grad 266⅔ grad 333⅓ grad 366⅔ grad
Degrees 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radians
Grads 50 grad 100 grad 150 grad 200 grad 250 grad 300 grad 350 grad 400 grad

Osim ako je navedeno suprotno svi uglovi u ovom članku će biti u radijanima, osim uglova koji se završavaju simbolom stepena (°), koji su u stepenima.[1]

Trigonometrijske funkcije[uredi]

Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus ugla. Oni su ponkad skraćene sin i cos.

Sinus ugla je definisan u kontekstu pravog trougla kao odnos dužina stranice koja je naspram ugla, podeljene dužinom najduže stranice trougla, hipotenuze.

Kosinus ugla je takođe definisan u kontekstu pravog trougla, kao odnos dužina stranica na kojoj leži ugao, podeljene dužinom najduže stranice trougla, hipotenuzom.

Tangens ugla je odnos sinusa i kosinusa:

Konačno, reciprocna funkcija sec, csc i ctg su recipročne sinusu kosinusu i tangensu:


Inverzne funkcije[uredi]

Inverzne trigonometrijske funkcije su delimično inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije. Na primer, inverzna funkcija za sinus, poznata kao 'inverzni sinus' ili arcsin zadivoljava

i

Ovaj članak koristi notacije ispod za inverzne trigonometrijske funkcije :

Function sin cos tan sec csc cot
Inverse arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

Pitagorini identiteti[uredi]

Osnovna veza između sinusa i kosinusa su Pitagorini trigonometrijski identitet :

gde cos2 θ znači (cos(θ))2 i sin2 θ znači (sin(θ))2.

Ovo se može posmatrati kao verzija pitagorine teoreme, i prati jednačinu x2 + y2 = 1 za puni krug. Ova jednakost može biti pokazana i preko sinusa i preko kosinusa :

Povezani identiteti[uredi]

Deljenjem Pitagorinog identiteta sa cos2 θ ili sin2 θ doprinosi stvaranju dva identiteta :

Korišćenjem ovih identiteta zajedno sa razmernim identitetima, moguće je izraziti bilo koju trigonometrijsku funkciju u izrazima bilo kojih drugih (sve do plus minus znaka) :

Each trigonometric function in terms of the other five.[2]
in terms of

Istorijska stenografija[uredi]

Sve trigonometrijske funkcije ugla θ se mogu konstruisati geometrijski u okviru punog kruga sa centrom u  O. Mnogi ovi okviri nisu više u upotrebi.

Sinus versus, kosinus versus i eksekant se koristi u navigaciji. Na primer sinus versus formula je korišćena za izračunavanje udaljenosti između dva dela svere. Danas se retko koristi.

Name(s) Abbreviation(s) Value[3]
versed sine, versine

versed cosine, vercosine
coversed sine, coversine
coversed cosine, covercosine
half versed sine, haversine
half versed cosine, havercosine
half coversed sine, hacoversine
cohaversine
half coversed cosine, hacovercosine
cohavercosine
exterior secant, exsecant
exterior cosecant, excosecant
chord


Simetrija smene i periodičnost[uredi]

Ispitivanjem punog kruga, prateća svojstva trigonometrijskih funkcija mogu biti utvrđeni.

Simetrija[uredi]

Kada su trigonometrijske funkcije reflektovane na određen ugao, rezultat je često jedna od trigonometrijskih funkcija. To nas vodi do sledećih identiteta :

Reflected in [4] Reflected in
(co-function identities)[5]
Reflected in

Smene i periodičnosti[uredi]

Pod smenom funkcije kruga nekim određenim uglom često je moguće uočiti različite trigonometrijske funkcije koje pokazuju te rezultate u jednostavnijem obliku. Neki primeri ovoga su prikazani smenom funkcija kruga sa π/2, π i 2π radijana. Zbog stila funkcija je π ili 2π, ima slučajeva kada je nova funkcija u potpunosti ista kao stara bez smene.

Shift by π/2 Shift by π
Period for tan and cot[6]
Shift by 2π
Period for sin, cos, csc and sec[7]

Zbir uglova i razlika identiteta[uredi]

Ilustracija adicione formule za sinus i kosinus.
Ilustracija adicione formule za tangens.

Poznate su kao adicione i oduzimajuće teoreme ili formule. One potiču iz desetog veka i utvrdio ih je persijski matematicar Abū al-Wafā' Būzjānī. Jedan metod dokazivanja ovih identiteta se poklapa sa Eulerovom formulom.

Za diagram adicije ugla za sinus i kosinus, tamna linija sa 1 svoje dužine je dužine jedan. Hipotenuza desnog ugla trougla sa uglom β sa kojim daje sinus β i kosinus β. Kosinus β linija je hipotenuza desnog ugla trougla sa uglom α tako da ima sa strane sinus α i kosinus α i oboje pomoženo sa kosinus β. Ovo je isto za sinus β liniju. Uopsteno dijagram može biti korišćen da pokaže sinus i kosinus zbira identiteta

Jer suprotne strane pravougaonika su jednake.

Sine [8][9]
Cosine [9][10]
Tangent [9][11]
Arcsine [12]
Arccosine [13]
Arctangent [14]

Matrična forma[uredi]

Zbir i razlika formula sinusa i kosinusa može biti napisana u matriks formi kao :

Sinus i kosinus zbira beskonačnosti odnosa[uredi]

U ova dva identiteta asimetričnost se pojavljuje ali nije viđena u slučaju zbira konačnosti mnogih uslova : U svakom produktu, ima nekoliko konačnih sinus faktora i dvosmislenosti mnogih kosinus faktora.

Samo ako beskonacnost mnogih ovih uslova θi nije nula, onda samo konačnost mnogih uslova sa desne strane neće biti nula jer sinus fakor će nestati, u savkom uslovu, sve osim konačnosti mnogih kosinus faktora će biti zajedno.

Zbir tangensa[uredi]

ako ek (for k = 0, 1, 2, 3, ...) bude kti stepen elementarnog simetričnog polinoma u varijablama

for i = 0, 1, 2, 3, ..., i.e.,

Onda

Broj uslova sa desne strane zavisi od broja uslova sa leve.

Na primer:

I tako dalje.

Zbir sekansa i kosekansa[uredi]

gde ek is the kti stepen elementarnog simetričnog polinoma u n varijabli xi = tan θi, i = 1, ..., n, i broj uslova u imeniocu i broj faktora u rezultatu u broiocu zavisi od broja uslova u zbiru sa leve strane. Slučaj konačnosti mnogih uslova može biti proverena matematičkom indukcijom. Konvergencija serija u imeniocu može biti pokazana pisanjem sekans identiteta u formi

i onda posmatra da je leva strana konvergentna ukoliko je desna strana konvergentna, i slična kosenkans identitetu.

Na primer,

Eksponencijalne definicije[uredi]

Function Inverse function[15]


Reference[uredi]

  1. ^ Schaumberger, N. "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities." Two-Year College Math. J. 5, 73-76, 1974. also see Weisstein, Eric W. "Niven's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html
  2. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 73, 4.3.45
  3. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 78, 4.3.147
  4. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.13–15
  5. ^ The Elementary Identities
  6. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.9
  7. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.7–8
  8. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.16
  9. 9,0 9,1 9,2 Weisstein, Eric W. „Trigonometric Addition Formulas”. MathWorld. 
  10. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.17
  11. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.18
  12. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.42
  13. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.43
  14. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.36
  15. ^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.26–31

Literatura[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]