Trisekcija ugla

Trisekcija ugla, kvadratura kruga i udvajanje kocke spadaju u tri čuvena problema grčke matematike koja su od izuzetnog značaja za razvoj geometrije.

Problem

Poznajući neki ugao α treba konstruisati, samo uz pomoć šestara i lenjira, trećinu datog ugla ( β = α / 3 ). Pretpostavimo da je ugao β konstruktibilan, a ugao β je konstruktibilan samo ako su mu konstruktibilni cosβ i sinβ. Za uglove će važiti jednakost: cosα = cos3β = 4cos3β - 3cosβ.

Uzmimo da je α = π / 3 i da je potrebno konstruisati ugao β = π / 9. U tom slučaju će važiti: cos3β = 4cos3β - 3cosβ = cosπ/3 = 1/2; Uvođenjem smene x = cosβ dobija se jednačina: 4x³ - 3x - 1/2 = 0.

Da bi β konstruktibilan broj, mora postojati algebarsko rešenje ove jednačine. Pošto ovaj polinom nema racionalne korene znači da je p(x) nesvodljiv na Q.

Neka je a ∈ R rešenje jednačine 4x³ - 3x - 1/2 = 0; Tada je |Q[a]:Q| = 3 ≠ 2^r, a to znači da a nije konstruktibilan broj, što dalje implicira da cosβ nije konstruktibilan a samim tim ni ugao β.

Time smo dokazali da trisekcija ugla nije moguća.