Frobenijusov metod

Frobenijusov metod predstavlja jedan od metoda rešavanja diferencijalnih jednačina drugoga reda oblika:

$z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0\,$

gde su:

$u'\equiv {{du} \over {dz}}$ i $u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2}}}$ u blizini regularnoga singulariteta z=0. Podelimo li sa z² dobijamo diferencijalnu jednačinu:

$u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0$

Metoda je dobila ime po nemačkom matematičaru Ferdinandu Frobenijusu.

Metoda

Prema Frobenijusovoj metodi tražimo rešenje u obliku reda:

$u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r},\qquad (A_{0}\neq 0)$

Diferenciranjem dobijamo:

$u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$

$u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}$

Posle toga gore dobiujene redove supstituiramo u diferencijalnu jednačinu i dobijamo:

${\begin{aligned}&{}\quad z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\&=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\end{aligned}}$

Inicijalni polinom je sledeći izraz:

$r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)\,$

Prema opštoj definiciji inicijalni polinomi su koeficijenti najnižega stepena po z. Opšti izraz za koeficijente od z^k + r je:

$I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}$

Ti koeficijenti treba da budu jednaki nuli, jer oni treba da predstavljaju rešenja diferencijalne jednačine, pa sledi:

$I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=0$

$\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=-I(k+r)A_{k}$

${1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=A_{k}$

Gornje rešenje sa A_k je:

$U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

i zadovoljava:

$z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;$

Odaberemo li jedan od korena inicijalnoga polinoma, tada dobijamo rešenje diferencijalne jednačine.

Primer

Pokušamo li da rešimo sledeći diferencijalnu jednačinu:

$z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0\,$

Podelimo li je sa z² dobijamo:

$f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0$

Pretpostavljamo rešenja u obliku reda:

$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

$f'=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$

$f''=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}$

i ta rešenja supstituiramo u gornju jednačinu:

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{1 \over z^{2}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\end{aligned}}$

Pomeramo indekse poslednje sume, tako da se dobija:

${\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\end{aligned}}$

Startni indeks za k=0 se posebno piše, pa se dobija:

${\begin{aligned}&=((r)(r-1)A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-((r)A_{0}z^{r-2})-\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}\\&{}+(A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r(r-1)-r+1)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}$

Jedno rešenje dobijamo rešavanjem inicijalnoga polinoma r(r − 1) − r + 1 = r² − 2r + 1 = 0, odnosno dobijamo da je 1 dvostruki koren. Koristeći taj koren koeficijenti od z^{k + r − 2} treba da budu nula, šta daje rekurziju:

$((k+1)(k)-(k+1)+1)A_{k}-A_{k-1}=(k^{2})A_{k}-A_{k-1}=0\,$

$A_{k}={A_{k-1} \over k^{2}}$

Pošto je omer $A_{k}/A_{k-1}$ racionalna funkcija onda se red može napisati kao opšti hipergeometrijski red.

Literatura

• Frobenijusova metoda
• Frobenijusov metod