6-j simbol

Vignerov 6-j simbol definisao je 1940. Eugen Paul Vigner. Definišu se preko sume produkata 3-j simbola:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\sum _{m_{i}}(-1)^{S}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}\times$

$\quad \times {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\-m_{1}&m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\m_{4}&-m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\-m_{4}&-m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}.$

sa fazom $S=\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})$. Sumira se preko svih šest m_i, a selekciona pravila 3jm ograničavaju sumu. Povezani su sa Rakovim koeficijentima:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$

Razvoj

Vignerov 6-j simbol može da se prikaže preko konačne sume:

${\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=(-1)^{a+c+d+f}{\frac {\Delta (abc)\Delta (bdf)}{\Delta (aef)\Delta (cde)}}\times$

$\quad \times \sum _{n}(-1)^{n}{\frac {(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!}}$

a tu se sumacija odvija po svim n sve dok faktorijeli ne postanu negativni.

Pri tome funkcija $\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$ je jednaka 1 ako je zadovoljena relacija triangularnosti za $(j_{1},j_{2},j_{3})$, a 0 ako nije definisana je sledećim izrazom:

$\Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}$

Relacija ortogonalnosti

Vignerovi simboli zadovoljavaju relacije ortogonalnosti:

$\sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).$

Specijalni slučaj

U slučaju da je $j_{6}=0$ dobija se:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).$

Pri tome funkcija $\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$ je jednaka 1 ako je zadovoljena relacija triangularnosti za $(j_{1},j_{2},j_{3})$, a 0 ako nije.

Simetrije

Vignerov 6-j simbol invarijantan je na permutaciju dve kolone, tako da vredi:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.$

Vignerov 6-j simbol invarijantan je i na zamenu dva argumenta u gornjim kolonama sa dva argumenta u donjim kolonama:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Vignerov 6-j simbol

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$

je nula sem ako j₁, j₂ i j₃ ne zadovoljavaju triangularne uslove:

$j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.$

Asimptotski razvoj

Asimptotska formula je razvijena za slučaj kada svih šest kvantnih brojeva j₁, ..., j₆ teži velikim brojevima. Asimptotska formula je dana sa:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 9780486612720. 
• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 9780-691-07912-7. 
• Messiah, Albert (1981). Quantum Mechanics. II (12th izd.). New York: North Holland Publishing. ISBN 9780-7204-0045-8. 

Spoljašnje veze

• 3j, 6j i 9j simboli