Болцано-Вајерштрасова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

Болцано-Вајерштрасова теорема за скупове[уреди]

Дефиниција[уреди]

  • 2. Сваки бесконачан скуп у има бар једну тачку нагомилавања у

Доказ[уреди]

  • 1. Нека је скуп бесконачан и ограничен. Пошто је ограничен, значи да за неки одсечак Поделимо дати одсечак на два дела, тачком Пошто је скуп бесконачан, у бар једном од одсечака и ће се наћи бесконачно много чланова скупа . Означимо тај одсечак са Понављајући тај поступак, добијамо одсечке , , ..., тј. бесконачни низ уметнутих одсечака од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа

Из Канторовог принципа уметнутих одсечака, бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек, а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима.

Означимо са тачку која ће припадати свим одсечцима

Како Важи:

што значи да ће за свако произвољно одабрано постојати довољно велико тако да ће се сви одсечци почев од налазити у околини тачке а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова, то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа, закључује да је тачка тачка нагомилавања скупа , што је и требало показати.

  • 2.

Ако је скуп ограничен, доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен.

Ако је скуп неограничен, то се из дефиниције тачака и закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа Тиме је доказ завршен.


Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.