Скуп

Из Википедије, слободне енциклопедије
За другу употребу, погледајте страницу Скуп (структура података).

У математици, скуп је појам који се обично не дефинише, већ се узима као основни, а често се умјесто тог термина користе разни синоними, као што су, на примјер, мноштво, фамилија, колекција исл.

За означавање скупова се најчешће користе велика слова латинице . Ако је неки скуп коначан или пребројиво бесконачан, па се његови елементи могу набројати, користи се запис

, односно ;

такође, елементи неког скупа се могу описати коришћењем неког својства које они (и само они) задовољавају:

Дакле, скуп је одређен својим елементима; припадност елемента скупу означава се са , а неприпадност са .

Између скупова се уводе две основне релације - једнакост и инклузија:

Непосредно из ових дефиниција је јасно да је

Празни скуп, који се означава са може се дефинисати, на пример, помоћу . Тај скуп има особину да је за било који скуп . Такође, ако су у оквиру неке теорије сви скупови са којима се оперише подскупови неког фиксираног скупа, тај скуп се назива универзалним и често обиљежава са . Такав скуп има особину да је за све скупове са којима се оперише у датом проблему, при чему треба нагласити да није исправно користити термин „скуп свих скупова“ - он може довести до нежељених парадокса.

Историја[уреди]

Савремена теорија скупова настаје крајем 19. века када немачки математичар Георг Кантор даје описну математичку теорију која се још назива и интуитивна или наивна теорија скупова.

Дефиниција
Скуп је обједињење извесних елемената у једну целину.

Овде ће бити представљен систем аксиома каквог га је поставио Готлоб Фреге у књизи „Основни закони аритметике“ 1893. године

Аксиома о једнакости два скупа
Два скупа су једнака ако и само ако имају исте елементе.
Аксиома апстракције
За унапред задато својство P(x) постоји скуп {x|P(x)} чији су елементи управо они објекти који имају то својство.
Аксиома избора
За сваки непразан скуп S постоји функција f чији су оригинали непразни подскупови тог скупа, а слике су елементи оригинала, тј.

Последња аксиома каже да свако својство дефинише скуп. Међутим, већ 1902. године ће Бертранд Расел показати пример који води контрадикцији. То добија назив Раселов парадокс, а теорија скупова се нашла пред великим проблемима.

Операције са скуповима[уреди]

Са скуповима се могу изводити разне операције. Следе дефиниције неколико основних:

Особине скупова[уреди]

Основне особине скупова су задате у следећој листи:

(закони комутације)

(закони асоцијације)

(закони дистрибуције)

Види још[уреди]


Спољашње везе[уреди]