Гринова функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Гринова функција G(x,x') је решење линеарне диференцијалне једначине облика: где је D_x диференцијални оператор, а δ(x-x') Делта функција. Може се рећи да је Гринова функција одговор система на јединичну побуду.[1]

Гринове функције су добиле назив по британском математичару Џорџу Грину који их је увео у математику 1830-их година. Метод Гринових функција има примењују у математици и физици при решавању разних врста диференцијалних једначина.

Особине[уреди]

Гринова функција није једнозначно одређена. За њено одређивање потребно је додати одређени гранични услов, а најчешће се наметају Диришлеов или Нојманов гранични услов.

  • Диришлеов гранични услов захтева да Гринова функција на граници буде једнака нули. Последица оваквог захтева је да је Гринова функција симетрична по и , тј. да је
  • Нојманов гранични услов подразумева да је извод Гринове функције у правцу нормале једнак .

Поасонова једначина[уреди]

Гринова функција за Поасонову једначину:

има опште решење:

где је решење хомогене диференцијалне једначине:

Метод Гринових функција[уреди]

Метод Гринових функција се уводи за решавање диференцијалних нехомогених једначина које су линеарне. Метод се састоји у томе да се аналогна једначина увођењем Гринове функције уместо почетне решава за јединичну побуду уместо за нехомоген део, и онда се укупно решење добија суперпозицијом, што је еквивалентно Хајгенсоновом принципу у електродинамици.

Пример[уреди]

Стационарна Шредингерова једначина има облик:

где је позната функција.

Ова једначина се може решити методом Гринових функција. Дакле, решавамо аналогну једначину с тим што непознату функцију замењујемо Гриновом функцијом, а нехомоген део с десне стране једначине замењујемо Делта функцијом.

Таласна функција преко Гринове функције је изражена као:

што се може лако проверити убацивањем у почетну једначину.

Како су сви чланови у једначини са Гриновом функцијом инваријантни на транслације, то ни Гринова функција не зависи експлицитно од координата:

а једначина се може решити развојем у Фуријеов интеграл:

где коефицијенте у развоју добијамо преко инверзног Фуријеовог интеграла.[2]

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Електродинамика, Воја Радовановић, pp. 113-116, Физички факултет, децембар 2014, приступљено: 21. август 2015.
  2. ^ Борнова апроксимација, pp. 201-204, Квантна механика, Маја Бурић, јун 2015

Спољашње везе[уреди]