Гринова функција
Гринова функција G(x,x') је решење линеарне диференцијалне једначине облика: где је D_x диференцијални оператор, а δ(x-x') Делта функција. Може се рећи да је Гринова функција одговор система на јединичну побуду.[1]
Гринове функције су добиле назив по британском математичару Џорџу Грину који их је увео у математику 1830-их година. Метод Гринових функција има примењују у математици и физици при решавању разних врста диференцијалних једначина.
Особине
[уреди | уреди извор]Гринова функција није једнозначно одређена. За њено одређивање потребно је додати одређени гранични услов, а најчешће се наметају Дирихлеов или Нојманов гранични услов.
- Дирихлеов гранични услов захтева да Гринова функција на граници буде једнака нули. Последица оваквог захтева је да је Гринова функција симетрична по и , тј. да је
- Нојманов гранични услов подразумева да је извод Гринове функције у правцу нормале једнак .
Поасонова једначина
[уреди | уреди извор]Гринова функција за Поасонову једначину:
има опште решење:
где је решење хомогене диференцијалне једначине:
Метод Гринових функција
[уреди | уреди извор]Метод Гринових функција се уводи за решавање диференцијалних нехомогених једначина које су линеарне. Метод се састоји у томе да се аналогна једначина увођењем Гринове функције уместо почетне решава за јединичну побуду уместо за нехомоген део, и онда се укупно решење добија суперпозицијом, што је еквивалентно Хајгенсоновом принципу у таласима и оптици.
Пример
[уреди | уреди извор]Стационарна Шредингерова једначина има облик:
где је позната функција.
Ова једначина се може решити методом Гринових функција. Дакле, решавамо аналогну једначину с тим што непознату функцију замењујемо Гриновом функцијом, а нехомоген део с десне стране једначине замењујемо Делта функцијом.
Таласна функција преко Гринове функције је изражена као:
што се може лако проверити убацивањем у почетну једначину.
Како су сви чланови у једначини са Гриновом функцијом инваријантни на транслације, то ни Гринова функција не зависи експлицитно од координата:
а једначина се може решити развојем у Фуријеов интеграл:
где коефицијенте у развоју добијамо преко инверзног Фуријеовог интеграла.[2]
Види још
[уреди | уреди извор]Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Електродинамика, Воја Радовановић, pp. 113-116, Физички факултет, децембар 2014, приступљено: 21. август 2015.
- ^ Борнова апроксимација, pp. 201-204, Квантна механика, Маја Бурић, јун 2015