Епициклоида

Из Википедије, слободне енциклопедије
EpitrochoidOn3-generation.gif

Епициклоида (од грч. ὲπί -на, над и грч. κυκλος-круг ) је крива, која се добија када се једна кружница котрља по другој кружници са центром у исходишту и тада произвољна тачка покретне кружнице описује епициклоиду.

Једначина епициклиде[уреди]

Ако фиксирана кружница има радијус , а покретна кружница радијус тада се епициклоида може описивати следећим једначинама:

Пошто између радијуса две кружнице постоји омер онда се једначине могу написати као:

Ако је целобројан онда је епициклоида затворена и има шиљака. У случају да је рационалан број једнак p/q тада епициклоида има p шиљака. У случају да је ирационалан број крива се никада не затвара, па се добија бесконачан број шиљака. Епициклиоида са једним шиљком назива се кардиоида.

Доказ[уреди]

Pf1.jpg

Претпоставимо да желимо да решимо положај тачке и да и одговарајући углови приказани на слици. По претпоставци нема клизања између кружница, па вреди:

тј.
, па се добија једначина:
и одатле

Са слике добија се позиција:

Литература[уреди]