Ермитови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ермитови полиноми представљају ортогонални низ полинома. Именовани су према Шарлу Ермиту, који их је изучавао 1864. године. Полиноми су од значаја у теорији вероватноће, комбинаторици и нумеричкој анализи. У физици Ермитови полиноми представљају својствена стања квантнога хармоничкога осцилатора.

Дефиниција[уреди]

Постоје два стандардна начина нормализације Ермитових полинома:

("пробабилистички' Ермитови полиноми"), и

("физикални' Ермитови полиноми"). Те две дефиниције нису потпуно еквивалентне, па постоји трансформација између две дефиниције:

Првих шест пробабилистичких Ермитових полинома Hen(x).

Првих једанаест полинома је:

Првих шест физикалних Ермитеових полинома Hn(x).

Првих неколико физикалних Ермитових полинома:

Ермитов полином може да се представи и матрицом:

Ортогоналност[уреди]

и представљају полиноме n-тога-степена за n = 0, 1, 2, 3, .... Ти полиноми су ортогонални у односу на тежинску функцију (меру):

   (He)

или

   (H)

тј. ми имамо:

када је m ≠ n. Даље,

   (пробабилистички)

или

   (физикална).

Пробабилистички полиноми су дакле ортогонални у односу на стандардну нормалну функцију густине вероватноће.

Рекурзивне релације[уреди]

Ермитови полиноми такође задовољавају следеће рекурзије:

(пробабилистичка)
(физикална)

Ермитови полиноми представљају Апелов низ, тј. они задовољавају следеће једначине

(пробабилистичка)
(физикална)


или еквивалентно,

(пробабилистичка)
(физикална)

Ермитови полиноми задовољавају такође следеће рекурентне релације:

(пробабилистичка)
(физикална)

Те последње релације често се користе да би се помоћу почетних полинома израчунали остали.

Генерирајуће функције[уреди]

Ермитови полиноми могу да се представе и експоненцијалном генерирајућом функцијом:

(пробабилистичка)


(физикална).

Експлицитни израз[уреди]

Физикални Ермитови полиноми могу да се напишу експлицитно као:

за парне n и

за непарне n. Те две једначине могу да се комбинују у једну:

Ермитова диференцијална једначина[уреди]

Пробабилистички Ермитови полиноми представљају решење диференцијалне једначине:

где је λ константа, са граничним условом да u треба да буде полином ограничен у бесконачности. Решење једначине са граничним условом је u(x) = Hλ(x). Диференцијална једначина може и да се напише у облику:

Таква једначина назива се Ермитова једначина, иако се тај назив користи и за блиско повезану једначину:

чија решења су физиклани Ермитови полиноми.

Ермитова функција[уреди]

Ермитове функције могу да се дефинишу помоћу физикалних полинома::

Пошто те функције садрже квадратни корен функције тежине оне су ортонормалне:

Ермитове функције задовољавају диференцијалну једначину:

Та једначина еквивалентна је Шредингеровој једначини за хармонијски осцилатор у квантној механици, тако да су те функције својствене функције.

Ермитеове функције 0 (црна), 1 (црвена), 2 (плава), 3 (жута), 4 (зелена), and 5 (љубичаста).

Ермитове функције задовољавају следеће рекурзионе релације:

као и

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720