Ермитови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије
Jump to navigation Jump to search

Ермитови полиноми представљају ортогонални низ полинома. Именовани су према Шарлу Ермиту, који их је изучавао 1864. године. Полиноми су од значаја у теорији вероватноће, комбинаторици и нумеричкој анализи. У физици Ермитови полиноми представљају својствена стања квантнога хармоничкога осцилатора.

Дефиниција[уреди]

Постоје два стандардна начина нормализације Ермитових полинома:

("пробабилистички' Ермитови полиноми"), и

("физикални' Ермитови полиноми"). Те две дефиниције нису потпуно еквивалентне, па постоји трансформација између две дефиниције:

Првих шест пробабилистичких Ермитових полинома Hen(x).

Првих једанаест полинома је:

Првих шест физикалних Ермитеових полинома Hn(x).

Првих неколико физикалних Ермитових полинома:

Ермитов полином може да се представи и матрицом:

Ортогоналност[уреди]

и представљају полиноме n-тога-степена за n = 0, 1, 2, 3, .... Ти полиноми су ортогонални у односу на тежинску функцију (меру):

   (He)

или

   (H)

тј. ми имамо:

када је m ≠ n. Даље,

   (пробабилистички)

или

   (физикална).

Пробабилистички полиноми су дакле ортогонални у односу на стандардну нормалну функцију густине вероватноће.

Рекурзивне релације[уреди]

Ермитови полиноми такође задовољавају следеће рекурзије:

(пробабилистичка)
(физикална)

Ермитови полиноми представљају Апелов низ, тј. они задовољавају следеће једначине

(пробабилистичка)
(физикална)


или еквивалентно,

(пробабилистичка)
(физикална)

Ермитови полиноми задовољавају такође следеће рекурентне релације:

(пробабилистичка)
(физикална)

Те последње релације често се користе да би се помоћу почетних полинома израчунали остали.

Генерирајуће функције[уреди]

Ермитови полиноми могу да се представе и експоненцијалном генерирајућом функцијом:

(пробабилистичка)


(физикална).

Експлицитни израз[уреди]

Физикални Ермитови полиноми могу да се напишу експлицитно као:

за парне n и

за непарне n. Те две једначине могу да се комбинују у једну:

Ермитова диференцијална једначина[уреди]

Пробабилистички Ермитови полиноми представљају решење диференцијалне једначине:

где је λ константа, са граничним условом да u треба да буде полином ограничен у бесконачности. Решење једначине са граничним условом је u(x) = Hλ(x). Диференцијална једначина може и да се напише у облику:

Таква једначина назива се Ермитова једначина, иако се тај назив користи и за блиско повезану једначину:

чија решења су физиклани Ермитови полиноми.

Ермитова функција[уреди]

Ермитове функције могу да се дефинишу помоћу физикалних полинома::

Пошто те функције садрже квадратни корен функције тежине оне су ортонормалне:

Ермитове функције задовољавају диференцијалну једначину:

Та једначина еквивалентна је Шредингеровој једначини за хармонијски осцилатор у квантној механици, тако да су те функције својствене функције.

Ермитеове функције 0 (црна), 1 (црвена), 2 (плава), 3 (жута), 4 (зелена), and 5 (љубичаста).

Ермитове функције задовољавају следеће рекурзионе релације:

као и

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720