Квантно механички осцилатор

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Квантно механички осцилатор је квантно механички аналог класичном хармонијском осцилатору. Будући да се произвољни потенцијал обично може апроксимирати као хармонијски потенцијал у близини стабилне тачке равнотеже, то је један од најважнијих системских модела у квантној механици. Квантни хармонијски осцилатор је један од ретких квантно-механичких система за који је познато тачно, аналитичко решење.[1][2]

Једнодимензионални квантни осцилатор[уреди]

Хамилтонијан и енергија својствених стања[уреди]

Хамилтонијан слободне честице дат је изразом:

где је m маса честице, k - константа, а угаона фреквенција осцилатора , - оператор координате дат са x, - оператор импулса дат са

Први члан у Хамилтонијану представља кинетичку енергију честице, а други члан представља његову потенцијалну енергију.

Може се написати временски независна Шредингерова једначина:

где Е означава својствене вредности енергије, а решење |ψ означава сопствено енергетско стање. Диференцијална једначина која представља овај својствени проблем може се решити у бази координата, за таласну функцију ⟨x | ψ⟩ = ψ (x), користећи спектралну методу. Испада да постоји породица решења. На основу тога, они представљају Хермитеове функције:

Функције Hn представљају Хермитеове полиноме

Огдоварајући нивои енергије су:

Овај енергетски спектар је запажен из три разлога. Прво, енергије се квантују, што значи да су могуће само дискретне вредности енергије (цели број-половина умношка ħω); ово је општа карактеристика квантно-механичких система када је честица ограничена. Друго, ти дискретни енергетски нивои су подједнако распоређени, за разлику од Боровог модела атома. Треће, најнижа достижна енергија (енергија n = 0 стања, која се назива основно стање) није једнака минимуму потенцијалне јаме, већ је ħω / 2 изнад ње. Ово се назива енергија нулте тачке. Због енергије нулте тачке, положај и момент осцилатора у основном стању нису фиксни (као што би то било у класичном осцилатору), већ имају мали опсег одступања, у складу са Хајзенберговим принципом неодређености.

Референце[уреди]

  1. ^ Griffiths, David J. (David Jeffery), 1942- (1999). Introduction to electrodynamics (3rd ed изд.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0. OCLC 40251748. 
  2. ^ Liboff, Richard L., 1931-2014,. Introductory quantum mechanics (Fourth edition изд.). San Francisco. ISBN 978-0-8053-8714-8. OCLC 50475492.