Квантно механички осцилатор

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Квантно механички осцилатор је квантно механички аналог класичном хармонијском осцилатору. Будући да се произвољни потенцијал обично може апроксимирати као хармонијски потенцијал у близини стабилне тачке равнотеже, то је један од најважнијих системских модела у квантној механици. Квантни хармонијски осцилатор је један од ретких квантно-механичких система за који је познато тачно, аналитичко решење.[1][2]

Једнодимензионални квантни осцилатор[уреди | уреди извор]

Хамилтонијан и енергија својствених стања[уреди | уреди извор]

Хамилтонијан слободне честице дат је изразом:

где је m маса честице, k - константа, а угаона фреквенција осцилатора , - оператор координате дат са x, - оператор импулса дат са

Први члан у Хамилтонијану представља кинетичку енергију честице, а други члан представља његову потенцијалну енергију.

Може се написати временски независна Шредингерова једначина:

где Е означава својствене вредности енергије, а решење |ψ означава сопствено енергетско стање. Диференцијална једначина која представља овај својствени проблем може се решити у бази координата, за таласну функцију ⟨x | ψ⟩ = ψ (x), користећи спектралну методу. Испада да постоји породица решења. На основу тога, они представљају Хермитеове функције:

Функције Hn представљају Хермитеове полиноме

Огдоварајући нивои енергије су:

Овај енергетски спектар је запажен из три разлога. Прво, енергије се квантују, што значи да су могуће само дискретне вредности енергије (цели број-половина умношка ħω); ово је општа карактеристика квантно-механичких система када је честица ограничена. Друго, ти дискретни енергетски нивои су подједнако распоређени, за разлику од Боровог модела атома. Треће, најнижа достижна енергија (енергија n = 0 стања, која се назива основно стање) није једнака минимуму потенцијалне јаме, већ је ħω / 2 изнад ње. Ово се назива енергија нулте тачке. Због енергије нулте тачке, положај и момент осцилатора у основном стању нису фиксни (као што би то било у класичном осцилатору), већ имају мали опсег одступања, у складу са Хајзенберговим принципом неодређености.

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Griffiths, David J. (David Jeffery), 1942- (1999). Introduction to electrodynamics (3. изд.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0. OCLC 40251748. 
  2. ^ Liboff, Richard L., 1931-2014,. Introductory quantum mechanics (4. изд.). San Francisco. ISBN 978-0-8053-8714-8. OCLC 50475492.