Лагранжов полином

Из Википедије, слободне енциклопедије

Интерполација путем Лагранжових полинома је поступак у коме је за n+1 тачака уз помоћ Лангражових полинома потребно да се нађу нове вредности неке непознате функције или функције чије је израчунавање претешко (временски пренапорно или чак немогуће).


Слика приказује четири тачке ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), и (кубни) интерполациони полином L(x), који је збир скалираних базних полинома y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) и y3l3(x). Интерполациони полином пролази кроз све четири контролне тачке, и сваки скалирани базни полином пролази кроз своју контролну тачку, и једнак је 0 тамо где x одговара осталим трима контролним тачкама.

Идеја иза поступка је врло слична другим методама (Њутновој методи, на пример): Полазећи од познатих тачака конструише се нова основа неког простора. Онда се дата функција (односно њене познате вредности за дате тачке) трансформише у тај нови простор. Мало неформалније речено, од ње се прави полином, а она служи пре свега као узор. Тиме се добија нова, приближна функција (полином) који може да се израчуна.

Основа за Лангражов полином је:

l_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}

Приближна функција која апроксимира f(x) је P(x); x_i су тачке за које су познате вредности дате функције:

P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x)

Гледајући l_{i}(x) за i \in \{1,2,3,4,5\}:

l_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
l_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
l_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
l_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
l_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}

постаје јасније зашто су такви полиноми баш изабрани. На свим местима x_{j \neq i} полином има нулто место, а код x_i има вредност 1. Тако је осигурано да ће наведени полином да прође тачно кроз дате тачке односно да ће за све P(x_i) да важи P(x_i) = f(x_i).


Пример[уреди]

Позната је вредност полинома у 3 различите тачке :

X 1 2 3
Y 3 -1 1


Екстраполацијом се добија полином :


P(x)=3\cdot{x - 2 \over 1 - 2}\cdot{x - 3 \over 1 - 3} + (-1)\cdot{x - 1 \over 2 - 1}\cdot{x - 3 \over 2 - 3} + 1\cdot{x - 1 \over 3 - 1}\cdot{x - 2 \over 3 - 2}