Лагранжов полином

Из Википедије, слободне енциклопедије

Интерполација путем Лагранжових полинома је поступак у коме је за тачака уз помоћ Лангражових полинома потребно да се нађу нове вредности неке непознате функције или функције чије је израчунавање претешко (временски пренапорно или чак немогуће).


Слика приказује четири тачке ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), и (кубни) интерполациони полином L(x), који је збир скалираних базних полинома y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) и y3l3(x). Интерполациони полином пролази кроз све четири контролне тачке, и сваки скалирани базни полином пролази кроз своју контролну тачку, и једнак је 0 тамо где x одговара осталим трима контролним тачкама.

Идеја иза поступка је врло слична другим методама (Њутновој методи, на пример): Полазећи од познатих тачака конструише се нова основа неког простора. Онда се дата функција (односно њене познате вредности за дате тачке) трансформише у тај нови простор. Мало неформалније речено, од ње се прави полином, а она служи пре свега као узор. Тиме се добија нова, приближна функција (полином) који може да се израчуна.

Основа за Лангражов полином је:

Приближна функција која апроксимира је ; су тачке за које су познате вредности дате функције:

Гледајући за :

постаје јасније зашто су такви полиноми баш изабрани. На свим местима полином има нулто место, а код има вредност 1. Тако је осигурано да ће наведени полином да прође тачно кроз дате тачке односно да ће за све да важи .


Пример[уреди]

Позната је вредност полинома у 3 различите тачке :

X 1 2 3
Y 3 -1 1


Екстраполацијом се добија полином :