Лагранжова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
Геометријска интерпретација Лагранжове теореме

Лагранжова теорема (енгл. mean value theorem) је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе.[1][2] Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.

Формулација[уреди]

Ако је функција f:

онда постоји тачка из интервала , таква да је:[3]

Доказ 1[4][уреди]

Посматрајмо функцију

.

И она је непрекидна на и диференцијабилна на . Одредимо за које функција задовољава услове Ролове теореме.

Дакле, да би било , мора бити:

Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка из интервала , таква да је:

те је

Доказ 2[уреди]

Посматрајмо функцију

Како је функција непрекидна и диференцијаблна на интервалу , односно , и функција је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, , што значи да на функцију можемо применити Ролову теорему.

Први извод функције је:

Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка , таква да је , тј.

,

односно:

,

што је и требало да се покаже.

Геометријска интерпретација[уреди]

Геометријска интерпретација: За било коју функцију непрекидну на [a, b] и диференцијабилну на (a, b), постоји тачка c из интервала (a, b) у којој је тангента (tangent) паралелна са сечицом (secant) која повезује крајеве интервала [a, b].

Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве у некој тачки , која припада затвореном интервалу , паралелна са сечицом која пролази кроз тачке и

Механичка интерпретација[уреди]

Ако се тачка креће по закону , где је непрекидна на и диференцијаблна на , онда постоји тренутак у ком је тренутна брзина једнака средњој брзини на интервалу , која износи , управо јер постоји то када је:

Последице и напомене[уреди]

  • Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке , као ни о броју таквих тачака.
  • Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако из затвореног интервала , , онда је функција константна на затвореном интервалу .
  • Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за , добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме.
  • Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.


Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Математичка анализа, (Проф. Др Светозар Курепа), први дио - диференцирање и интегрирање, Техничка књига, Загреб, 1975.
  2. Виша математика I (академик Радивоје Кашанин), четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969.
  3. Eric, Weisstein. „Mean-Value Theorem”. MathWorld. Wolfram Research. Приступљено 24. 3. 2011. 
  4. "Математичка анализа 1", (Проф. Др Душан Аднађевић, Проф. Др Зоран Каделбург), Студентски трг, Београд, 1995.