Извор странице Полином

У [[математика|математици]], '''полином''' је [[израз (математика)|израз]] који је сачињен од једне или више [[променљива (математика)|променљивих]] и [[константа|константи]], коришћењем операција сабирања, одузимања, множења, и степеновања позитивним целим степенима. На пример, <math>x^3 + 10x + (-9)\,</math> је полином. Треба имати у виду да дељење и кореновање изразом који садржи променљиву у општем случају није дозвољено код полинома<ref>{{Cite book|last=Selby|first=Peter H.|last2=Slavin|first2=Steve|title=Practical algebra: a self teaching guide|url=http://books.google.com/books?id=Y5SmXwkBoWQC|year=1991|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-53012-1|pages=}}</ref>.

== Преглед ==
Полиноми су сачињени од градивних елемената који се називају [[моном]]и, а они се састоје од константе (која се назива [[коефицијент]]ом), помножене једном или више променљивих (које се обично представљају словима). Свака променљива може имати константан позитиван цео број као [[експонент (математика)|експонент]]. Експонент над променљивом у моному је једнак [[степен (математика)|степену]] те променљиве у моному. Како је <math>x=x^1</math>, степен променљиве без записаног експонента је један. Моном без променљивих се назива константним мономом, или просто константом. Степен константе је 0. Коефицијент монома може бити било који број, укључујући разломке, ирационалне и негативне бројеве.

На пример,

: <math> -5x^2y\,</math>

је моном. Коефицијент је -5, а променљиве су ''-{x}-'' и ''-{y}-''. Степен променљиве ''-{x}-'' је два, а степен променљиве ''-{y}-'' је један.

Степен целог монома је збир степени сваке променљиве у њему. У горњем примеру је степен једнак 2 + 1 = 3.

Полином представља збир једног или више монома. На пример, ово је један полином:

: <math> 3x^2 - 5x + 4\,.</math>

Састоји се од три монома: први је степена два, други је степена један, а трећи је степена нула.

Полином се обично записује тако да мономи вишег степена долазе пре оних нижег степена. У првом моному, коефицијент је 3, променљива је ''-{x}-'', а експонент је два. У другом моному, коефицијент је -5. Трећи је константа. '''Степен''' полинома је највећи степен неког његовог монома. На пример, горњи полином има степен два.

Полином степена један се назива ''линеарни'', полином степена два се назива ''квадратни'', а онај степена три се назива ''кубни''.

Полином сачињен од једног монома се и сам назива ''моном''. Полином сачињен од два монома је ''бином'', док је онај сачињен од три монома назива ''трином''.

Полином чији терм највишег степена има коефицијент 1 је ''моничан''.

Израз који се може трансформисати у полином кроз низ примена [[комутативност|комутативних]], [[асоцијативност|асоцијативних]], и [[дистрибутивног|дистрибутивних]] закона се обично и сам сматра полиномом.

На пример

:<math>\frac{x^3}{12}</math>

се сматра полиномом, јер је еквивалентно <math>\tfrac{1}{12}x^3</math>. Коефицијент је <math>\tfrac{1}{12}</math>.

Али,

: <math> {1 \over x^2 + 1} \,</math>

није полином, јер укључује дељење променљивом, као што у општем случају није ни

: <math>(5 + y ) ^ x \,</math>

јер има променљиву за експонент.

Како се одузимање може посматрати као сабирање сабирака супротног знака, а степеновање константним позитивним бројем се може посматрати као поновљено множење, полиноми се могу конструисати од константи и променљивих применом само операција сабирања и множења.

'''Полиномијална функција''' је функција дефинисана вредношћу полинома. На пример, функција ''-{f}-'' дефинисана као

: <math> f(x) = x^3 - x \,</math>

је полиномијална функција. Полиномијалне функције су важна класа [[глатка функција|глатких]] [[функција (математика)|функција]]. Израз ''глатко'' долази из [[математичка анализа|математичке анализе]]. Значи да је увек могуће наћи извод полиномијалне функције, колико год пута, и колико год често. ''Глатка функција'' описује изглед графика полиномијалне функције.

== Елементарна својства полинома ==
# Збир два полинома је полином
# Производ два полинома је полином
# [[Извод]] полинома је полином
# [[Примитивна функција]] полинома је полином

Полиноми се користе да апроксимирају друге функције, као што су [[Синус (тригонометрија)|синус]], [[косинус]], и [[експоненцијална функција]].

Сви полиноми имају проширени облик, у коме се користи [[дистрибутивни закон]] да се уклоне све заграде. Неки полиноми имају растављен облик у коме је полином записан као производ полинома са реалним коефицијентима. На пример, полином

:<math> x^2 - 2x - 3 \,</math>

је једнак, и представља проширени облик полинома

:<math>(x - 3)(x + 1)\,</math>,

који је записан у растављеном облику.

Сваки полином једне променљиве је еквивалентан полиному облика

:<math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0</math>.

Ово се некад узима за дефиницију полинома једне променљиве.

'''Рачунање вредности полинома''' се састоји од додељивања неке бројевне вредности свакој променљивој, и извршавања одговарајућих множења и сабирања. Ово рачунање се понекад ефикасније спроводи коришћењем [[Хорнерова шема|Хорнерове шеме]]
:<math>((\ldots(a_n x + a_{n-1})x + ... + a_2)x + a_1)x + a_0\,</math>.

У елементарној [[алгебра|алгебри]], се изучавају методи за решавање свих полиномијалних једначина једне променљиве првог и другог степена. Када су у питању полиномијалне једначине, променљива се често назива ''непознатом''. Број решења полиномијалне једначине не може да премаши степен полинома, и тачно је једнак овом степену ако се уброји [[мултиплицитет]] решења, као и [[комплексан број|комплексна]] решења. Ова чињеница је [[основна теорема алгебре]].

== Операције ==

=== Сабирање и одузимање ===

Полиноми се могу сабирати коришћењем [[associative law|асоцијативног закона]] сабирања (групујући све њихове чланове у један збир), након чега евентуално следи преуређење (користећи [[commutative law|комутативни закон]]) и комбиновање сличних чланова.<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref> На пример, ако
:<math> P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 </math> and <math> Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8</math>
затим се збир
<math display="block">P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 </math>
може преуредити и прегруписати као
<math display="block">P + Q = (3x^2 - 3x^2) +  (- 2x + 3x) + 5xy    + 4y^2 + (8 - 2) </math>
а затим упрошћено на
<math display="block">P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6.</math>
Када се полиноми саберу, резултат је још један полином.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>

Одузимање полинома је слично.

=== Множење ===

Полиноми се такође могу множити. Да би се [[product (mathematics)|производ]] два полинома проширио у збир чланова, дистрибутивни закон се више пута примењује, што резултира у томе да се сваки члан једног полинома помножи са сваким чланом другог.<ref name="Edwards-1995-p47"/> На пример, ако је
<math display="block">\begin{align}
 \color{Red} P &\color{Red}{= 2x + 3y + 5} \\
 \color{Blue} Q &\color{Blue}{= 2x + 5y + xy + 1}
\end{align}</math>
онда је
<math display="block">\begin{array}{rccrcrcrcr}
{\color{Red}{P}} {\color{Blue}{Q}} & {{=}}&&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{2x}})
&+&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&({\color{Red}{2x}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{1}})
\\&&+&({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{2x}})&+&({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&({\color{Red}{3y}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&
({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{1}})
\\&&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{2x}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&
({\color{Red}{5}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{1}})
\end{array}</math>

Извођење множења у сваком члану производи
<math display="block">\begin{array}{rccrcrcrcr}
PQ & = && 4x^2 &+& 10xy &+& 2x^2y &+& 2x \\
&&+& 6xy &+& 15y^2 &+& 3xy^2 &+& 3y \\
&&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5.
\end{array}</math>
Комбиновање сличних термина даје
<math display="block">\begin{array}{rcccrcrcrcr}
PQ & = && 4x^2 &+&( 10xy + 6xy + 5xy ) &+& 2x^2y &+& ( 2x + 10x ) \\
&& + & 15y^2 &+& 3xy^2 &+&( 3y + 25y )&+&5
\end{array}</math>
што се може поједноставити на
<math display="block">PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5.</math>
Као у горњем примеру, производ полинома је увек полином.<ref name=":0" /><ref name=Barbeau-2003-pp1-2>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA1 1]–2}}</ref>

=== Композиција ===

За дати полином <math>f</math> једне променљиве и други полином {{mvar|g}} од било ког броја променљивих, [[function composition|композиција]] <math>f \circ g</math> се добија заменом сваке копије променљиве првог полинома са други полином.<ref name=Barbeau-2003-pp1-2/> На пример, ако је <math>f(x) = x^2 + 2x</math> и <math>g(x) = 3x + 2</math> онда је
<math display = "block"> (f\circ g)(x) = f(g(x)) = (3x + 2)^2 + 2(3x + 2).</math>

Композиција се може проширити на збир појмова користећи правила за множење и дељење полинома. Композиција два полинома је још један полином.<ref>{{Cite book|last=Kriete|first=Hartje|url=https://books.google.com/books?id=HwqjxJOLLOoC&q=The+composition+of+two+polynomials+is+always+another+polynomial.&pg=PA159|title=Progress in Holomorphic Dynamics|date=1998-05-20|publisher=CRC Press|isbn=978-0-582-32388-9|pages=159|language=en|quote=This class of endomorphisms is closed under composition,}}</ref>

=== Дељење ===

Дељење једног полинома другим није типично полином. Уместо тога, такви односи су општија породица објеката, који се називају ''[[rational fraction|рационални разломци]]'', ''рационални изрази'' или ''[[rational function|рационалне функције]]'', у зависности од контекста.<ref>{{cite book|last1 = Marecek | first1 = Lynn | last2 = Mathis | first2 = Andrea Honeycutt | title = Intermediate Algebra 2e | date = 6 May 2020 | publisher = [[OpenStax]] |  url = https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e | at = §7.1}}</ref> Ово је аналогно чињеници да је однос два [[integer|цела броја]] [[rational number|рационалан број]], а не нужно цео број.<ref>{{Cite book|last1=Haylock|first1=Derek|url=https://books.google.com/books?id=hgAr3maZeQUC&q=division+integers+not+closed&pg=PA49|title=Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers|last2=Cockburn|first2=Anne D.|date=2008-10-14|publisher=SAGE|isbn=978-1-4462-0497-9|pages=49|language=en|quote=We find that the set of integers is not closed under this operation of division.}}</ref><ref name = openstax>{{harvnb|Marecek|Mathis|2020|loc=§5.4]}}</ref> На пример, разломак {{math|1/(''x''<sup>2</sup> + 1)}} није полином и не може се написати као коначан збир степена променљиве {{mvar|x}}.

За полиноме у једној променљивој постоји појам [[Euclidean division of polynomials|еуклидског дељења полинома]], који генерализује [[Euclidean division|еуклидово дељење]] целих бројева.{{efn|This paragraph assumes that the polynomials have coefficients in a [[field (mathematics)|field]].}} Овај појам дељења {{math|''a''(''x'')/''b''(''x'')}} резултира са два полинома, ''количником'' {{math|''q''(''x'')}} и ''остатком'' {{math|''r''(''x'')}}, таквим да је {{math|''a'' {{=}} ''b'' ''q'' + ''r''}} и {{math|degree(''r'') < degree(''b'')}}. Количник и остатак могу да се израчунају било којим од неколико алгоритама, укључујући [[polynomial long division|полиномску дугу поделу]] и [[synthetic division|синтетичко дељење]].<ref>{{cite book |first1=Peter H. |last1=Selby |first2=Steve |last2=Slavin |title=Practical Algebra: A Self-Teaching Guide |url=https://archive.org/details/practicalalgebra00selb_1 |date=1991 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-53012-1 |edition=2nd}}</ref>

Када је именилац {{math|''b''(''x'')}} [[monic polynomial|моничан]] и линеаран, односно {{math|1=''b''(''x'') = ''x'' − ''c''}} за неку константу {{mvar|c}}, тада [[polynomial remainder theorem|теорема полиномског остатка]] тврди да је остатак дељења {{math|''a''(''x'')}} са {{math|''b''(''x'')}} евалуација {{math|''a''(''c'')}}.<ref name = openstax/> У овом случају, количник се може израчунати по [[Ruffini's rule|Рафинијевом правилу]], посебном случају синтетичке поделе.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Ruffini's Rule|url=https://mathworld.wolfram.com/RuffinisRule.html|access-date=2020-07-25|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

== Види још ==
* [[Моном]]
* [[Бином]]
* [[Трином]]
* [[Хомогени полином]]
* [[Симетрични полином]]
* [[Карактеристични полином]]
* [[Безуов став]]
* [[Биномна теорема]]

== Напомене ==
{{notelist}}

== Референце ==
{{reflist|}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Selby|first=Peter H.|last2=Slavin|first2=Steve|title=Practical algebra: a self teaching guide|url=http://books.google.com/books?id=Y5SmXwkBoWQC|year=1991|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-53012-1|pages=}}
* Ayres, Frank, ''Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra'', McGraw-Hill; 1st edition (June 1). {{page|year=1965|isbn=978-0-07-002655-1|pages=}}.
* {{Cite book| ref=harv|last=Barbeau |first=E.J. |title=Polynomials |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-40627-5 |url=https://books.google.com/?id=CynRMm5qTmQC&printsec=frontcover}}
* {{Cite book| ref=harv|editor-last=Bronstein |editor-first=Manuel|title=Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-3-540-27357-8 |url=https://books.google.com/?id=aIlSmBV3yf8C&printsec=frontcover|display-editors=etal}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Cahen |first=Paul-Jean |last2=Chabert |first2=Jean-Luc |title=Integer-Valued Polynomials |publisher=American Mathematical Society |year=1997 |isbn=978-0-8218-0388-2 |url=https://books.google.com/?id=AlAluH5is6AC&printsec=frontcover}}
* {{Lang Algebra}}. This classical book covers most of the content of this article.
* {{Cite book| ref=harv|last=Leung |first=Kam-tim |title=Polynomials and Equations |publisher=Hong Kong University Press |year=1992 |isbn=9789622092716 |url=https://books.google.com/?id=v5uXkwIUbC8C&printsec=frontcover|display-authors=etal}}
* Mayr, K. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. ''Monatshefte für Mathematik und Physik'' vol. 45, (1937) pp. 280–313.
* {{Cite book| ref=harv|last=Prasolov |first=Victor V. |title=Polynomials |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-3-642-04012-2 |url=https://books.google.com/?id=qIJPxdwSqlcC&printsec=frontcover}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Sethuraman |first=B.A. |chapter=Polynomials |title=Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility |publisher=Springer |year=1997 |isbn=978-0-387-94848-5 |url=https://books.google.com/?id=yWnTIqmUOFgC&pg=PA119}}
* Umemura, H. Solution of algebraic equations in terms of theta constants. In D. Mumford, ''Tata Lectures on Theta II'', Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston, 1984.
* von Lindemann, F. [https://web.archive.org/web/20160207142752/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PID=GDZPPN00252161X&L=1 Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen]. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 7, 1884. Polynomial solutions in terms of theta functions.
* von Lindemann, F. [https://web.archive.org/web/20160207142252/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PID=GDZPPN002526069&L=1 Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II]. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 edition.
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Polynomials}}
* [http://xrjunque.nom.es/precis/polycalc.aspx?ln=en Бесплатни онлајн калкулатор за полиноме] {{Wayback|url=http://xrjunque.nom.es/precis/polycalc.aspx?ln=en |date=20110720142614 }}
* {{springer|title=Polynomial|id=p/p073690}}
* {{cite web|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&pf=1 |title=Euler's Investigations on the Roots of Equations |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120924140505/http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&pf=1 |archivedate=24. 9. 2012 |url-status=dead}}
* {{MathWorld |title=Polynomial |id=Polynomial}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Апстрактна алгебра]]
[[Категорија:Комплексна анализа]]
[[Категорија:Нумеричка анализа]]
[[Категорија:Полиноми|*]]