Фокер-Планкова једначина

Фокер-Планкова једначина у статистичкој механици је парцијална диференцијална једначина која описује временску еволуцију функције густине вероватноће и може се записати у облику:

${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right]-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[F(x,t)p(x,t)\right].$

Фокер-Планкова једначина је диференцијална једначина првог реда у времену која важи за Марковљеве стохастичке процесе који су потпуно одређени почетним стањем и условном вероватноћом преласка из једног у друго стање.

Интерпретација

Временска еволуција густине вероватноће зависи од два члана:

• ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right]$ је дифузиони члан
• $-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[F(x,t)p(x,t)\right]$ је члан који описује померај или дрифт

Уопштено, једначина еволуције може садржати поред ова два члана и члан који се односи на скокове густине вероватноће, тј. који би описивао њена неконтинуална понашања, али овакво понашање се не узима у обзир у уобичајеном посматрању начина еволуције.

Еквивалентност са Ланжевиновом једначином

Ланжевинова једначина се може егзактно решити и њена решења су неке стохастичке функције. Различитим дискретизацијама Ланжевинове једначине добијају се различите Фокер-Планкове једначине због тога што је шум који фигурише у Ланжевиновој једначини стохастичке природе.

Ланжевинова једначина са Итовом дискретизацијом одговара Фокер-Планковој једначини која пропагира унапред у времену.

Струја густине

Струја густине ${\vec {J}}$ се дефинише за једначину временске еволуције тако да важи:

${\frac {\partial }{\partial t}}p({\vec {r}},t)=-\nabla {\vec {J}}({\vec {r}}).$

На тај начин, струја густине за Фокер-Планкову једначину је облика:

$J_{x}=F(x,t)p(x,t)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D(x,t)p(x,t)\right],$

где се аналогно са интерпретацијом чланова у Фокер-Планковој једначини, чланови респективно називају струјом дрифта и дифузионом струјом густине.

Гранични услови

Да би струја густине била дефинисана у потпуности, потребно је дефинисати и како се она понаша у граничним тачкама. Могуће врсте граничних услова које задовољавају Фокер-Планкову једначину су Дирихлеови услови, Нојманови услови, нека врста мешаних услова (као што су рефлективни гранични услови), апсорпциони гранични услови код којих укупна вероватноћа није одржана и други.

Види још

• Густина вероватноће
• Ланжевинова једначина
• Мастер једначина
• Марковљеви процеси