Kompaktan prostor — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат

Инлајн

Верзија на датум 8. март 2019. у 19:18

Interval $A = (-\infty, -2]$ nije kompaktan zato što nije ograničen. Interval $C = (2, 4)$ nije kompktan zato što nije zatvoren. Interval $B = [0, 1]$ je kompaktan zato što je zatvoren i ograničen.

U matematici, i specifičnije opštoj topologiji, kompaktnost je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa Euklidovog prostora koji je zatvoren (da sadrži sve svoje granične tačke) i ograničen (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su zatvoreni interval, četvorougao, ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije topološke prostore, nego što je Euklidov prostor na razne načine.^[1]^[2]

Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor sekvencijalno kompaktan ako svaki infinitivni niz tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni podniz koji konvergira u istu tačku prostora. Bolcano-Vajerštrasova teorema navodi da je podskup Euklidovog prostora kompaktan u ovom sekvencijalnom smislu ako i samo ako je zatvoren i ograničen.^[2] Stoga, ako se izabere beskonačan broj tačaka u zatvorenom jediničnom intervalu $[0, 1]$ neke od tih tačaka će biti proizvoljno blizo nekim realnom broju u tom prostoru. Na primer, neki od brojeva 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … se akumuliraju do 0 (drugi se akumuliraju do 1). Isti skup tačaka se ne bi akumulirao do bilo koje tačke otvorenog jediničnog intervala $(0, 1)$ ; tako da otvoreni jedinični interval nije kompaktan. Sam Euklidov prostor nije kompaktan, jer nije ograničen. Na primer, niz tačaka 0, 1, 2, 3, … nije niz koji konvergira u bilo koji realni broj.^[3]

Osim zatvorenih i ograničenih podskupova Euklidovog prostora, tipični primeri kompaktnih prostora obuhvataju prostore koji se ne sastoje od geometrijskih tačaka već od funkcija. Termin kompaktan je uveo u matematiku Moris Freše 1904. godine kao destilaciju ovog koncepta. Kompaktnost u ovoj generalnijoj situaciji igra ekstremno važnu ulogu u matematičkoj analizi, zato što se mnoge klasične i važne teoreme analize 19. veka, kao što je teorema ekstremne vrednosti, lako generalizuju u ovoj situaciji. Tipičnu primenu pruža Arcela-Askolijeva teorema ili Peanova teorema postojanja, prema kojoj je moguće izvesti zaključak o postojanju funkcije s nekim traženim svojstvima kao ograničavajući slučaj date elementarnije konstrukcije.

Reference

^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd изд.). New York: J. Wiley.
^ ^а ^б Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd изд.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd изд.). New York: J. Wiley.

Literatura

Alexandrov, Pavel; Urysohn, Pavel (1929), „Mémoire sur les espaces topologiques compacts”, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the section of mathematical sciences, 14 .
Arkhangel'skii, A.V.; Fedorchuk, V.V. (1990), „The basic concepts and constructions of general topology”, Ур.: Arkhangel'skii, A.V.; Pontrjagin, L.S., General topology I, Encyclopedia of the Mathematical Sciences, 17, Springer, ISBN 978-0-387-18178-3 .
Arkhangel'skii, A.V. (2001). „Compact space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Wilhelm Engelmann (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
Borel, Émile (1895), „Sur quelques points de la théorie des fonctions”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3, 12: 9—55, JFM 26.0429.03
Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications, MR 0124178 .
Arzelà, Cesare (1895), „Sulle funzioni di linee”, Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., 5 (5): 55—74 .
Arzelà, Cesare (1882—1883), „Un'osservazione intorno alle serie di funzioni”, Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142—159 .
Ascoli, G. (1883—1884), „Le curve limiti di una varietà data di curve”, Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 18 (3): 521—586 .
Fréchet, Maurice (1906), „Sur quelques points du calcul fonctionnel”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 22 (1): 1—72, doi:10.1007/BF03018603 .
Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976), Rings of continuous functions, Springer-Verlag .
Kelley, John (1955), General topology, Graduate Texts in Mathematics, 27, Springer-Verlag .
Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times (3rd изд.), Oxford University Press (објављено 1990), ISBN 978-0-19-506136-9 .
Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars .
Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, MR 0205854 .
Scarborough, C.T.; Stone, A.H. (1966), „Products of nearly compact spaces” (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, No. 1, 124 (1): 131—147, JSTOR 1994440, doi:10.2307/1994440 .
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover Publications reprint of 1978 изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446
Willard, Stephen (1970), General Topology, Dover publications, ISBN 0-486-43479-6

Spoljašnje veze

Countably compact at PlanetMath.org.
Sundström, Manya Raman (2010). „A pedagogical history of compactness”. arXiv:1006.4131v1  [math.HO].

[1] Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd изд.). New York: J. Wiley.

[Fitzpatrick-2] а ^б Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd изд.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

[3] Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd изд.). New York: J. Wiley.

[1]

[2]

[3]

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
 [[File:Compact.svg|thumb|upright=1.6|Interval {{math|''A'' {{=}} (−∞, −2]}} nije kompaktan zato što nije ograničen. Interval {{math|''C'' {{=}} (2, 4)}} nije kompktan zato što nije zatvoren. Interval {{math|''B'' {{=}} [0, 1]}} je kompaktan zato što je zatvoren i ograničen.]]
-{{rut}}
-U [[mathematics|matematici]], i specifičnije [[general topology|opštoj topologiji]], '''kompaktnost''' je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa [[Euclidean space|Euklidovog prostora]] koji je [[closed set|zatvoren]] (da sadrži sve svoje [[limit point|granične tačke]]) i [[bounded set|ograničen]] (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su [[closed interval|zatvoreni interval]], [[rectangle|četvorougao]], ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije [[topological space|topološke prostore]], nego što je Euklidov prostor na razne načine.<ref>{{cite book |last=Bartle |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |date=2000 |title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |isbn= |accessdate= }}</ref><ref>{{cite book |last=Fitzpatrick |first=Patrick M. |date=2006 |title=Advanced Calculus |url= |edition=2nd |location=Belmont, CA |publisher=Thomson Brooks/Cole |isbn=0-534-37603-7 |accessdate= }}</ref>
+U [[mathematics|matematici]], i specifičnije [[general topology|opštoj topologiji]], '''kompaktnost''' je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa [[Euclidean space|Euklidovog prostora]] koji je [[closed set|zatvoren]] (da sadrži sve svoje [[limit point|granične tačke]]) i [[bounded set|ograničen]] (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su [[closed interval|zatvoreni interval]], [[rectangle|četvorougao]], ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije [[topological space|topološke prostore]], nego što je Euklidov prostor na razne načine.<ref>{{cite book |last=Bartle |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |date=2000 |title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |isbn= |accessdate= }}</ref><ref name="Fitzpatrick">{{cite book |last=Fitzpatrick |first=Patrick M. |date=2006 |title=Advanced Calculus |url= |edition=2nd |location=Belmont, CA |publisher=Thomson Brooks/Cole |isbn=0-534-37603-7 |accessdate= }}</ref>
-Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor [[sequentially compact|''sekvencijalno'' kompaktan]] ako svaki [[infinite sequence|infinitivni niz]] tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni [[podniz]] koji konvergira u istu tačku prostora. The [[Bolzano–Weierstrass theorem]] states that a subset of Euclidean space is compact in this sequential sense if and only if it is closed and bounded. Thus, if one chooses an infinite number of points in the ''closed'' [[unit interval]] {{math|[0, 1]}} some of those points will get arbitrarily close to some real number in that space. For instance, some of the numbers {{nowrap|1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, &hellip;}} accumulate to 0 (others accumulate to 1). The same set of points would not accumulate to any point of the ''open'' unit interval {{math|(0, 1)}}; so the open unit interval is not compact. Euclidean space itself is not compact since it is not bounded. In particular, the sequence of points {{nowrap|0, 1, 2, 3, …}} has no subsequence that converges to any real number.
+Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor [[sequentially compact|''sekvencijalno'' kompaktan]] ako svaki [[infinite sequence|infinitivni niz]] tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni [[podniz]] koji konvergira u istu tačku prostora. [[Bolcano-Vajerštrasova teorema]] navodi da je podskup Euklidovog prostora kompaktan u ovom sekvencijalnom smislu ako i samo ako je zatvoren i ograničen.<ref name="Fitzpatrick" /> Stoga, ako se izabere beskonačan broj tačaka u ''zatvorenom'' [[unit interval|jediničnom intervalu]] {{math|[0, 1]}} neke od tih tačaka će biti proizvoljno blizo nekim realnom broju u tom prostoru. Na primer, neki od brojeva {{nowrap|1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, &hellip;}} se akumuliraju do 0 (drugi se akumuliraju do 1). Isti skup tačaka se ne bi akumulirao do bilo koje tačke ''otvorenog'' jediničnog intervala {{math|(0, 1)}}; tako da otvoreni jedinični interval nije kompaktan. Sam Euklidov prostor nije kompaktan, jer nije ograničen. Na primer, niz tačaka {{nowrap|0, 1, 2, 3, …}} nije niz koji konvergira u bilo koji realni broj.<ref>{{cite book |last=Bartle |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |date=2000 |title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |isbn= |accessdate= }}</ref>
-Apart from closed and bounded subsets of Euclidean space, typical examples of compact spaces include spaces consisting not of geometrical points but of [[function space|functions]]. The term ''compact'' was introduced into mathematics by [[Maurice Fréchet]] in 1904 as a distillation of this concept.  Compactness in this more general situation plays an extremely important role in [[mathematical analysis]], because many classical and important theorems of 19th-century analysis, such as the [[extreme value theorem]], are easily generalized to this situation.  A typical application is furnished by the [[Arzelà–Ascoli theorem]] or the [[Peano existence theorem]], in which one is able to conclude the existence of a function with some required properties as a limiting case of some more elementary construction.
+Osim zatvorenih i ograničenih podskupova Euklidovog prostora, tipični primeri kompaktnih prostora obuhvataju prostore koji se ne sastoje od geometrijskih tačaka već od [[function space|funkcija]]. Termin ''kompaktan'' je uveo u matematiku [[Maurice Fréchet|Moris Freše]] 1904. godine kao destilaciju ovog koncepta. Kompaktnost u ovoj generalnijoj situaciji igra ekstremno važnu ulogu u [[mathematical analysis|matematičkoj analizi]], zato što se mnoge klasične i važne teoreme analize 19. veka, kao što je [[extreme value theorem|teorema ekstremne vrednosti]], lako generalizuju u ovoj situaciji. Tipičnu primenu pruža [[Arzelà–Ascoli theorem|Arcela-Askolijeva teorema]] ili [[Peano existence theorem|Peanova teorema postojanja]], prema kojoj je moguće izvesti zaključak o postojanju funkcije s nekim traženim svojstvima kao ograničavajući slučaj date elementarnije konstrukcije.
 == Reference ==