Kompaktan prostor

Interval A = (−∞, −2] nije kompaktan zato što nije ograničen. Interval C = (2, 4) nije kompktan zato što nije zatvoren. Interval B = [0, 1] je kompaktan zato što je zatvoren i ograničen.

U matematici, i specifičnije opštoj topologiji, kompaktnost je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa Euklidovog prostora koji je zatvoren (da sadrži sve svoje granične tačke) i ograničen (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su zatvoreni interval, četvorougao, ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije topološke prostore, nego što je Euklidov prostor na razne načine.

Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor sekvencijalno kompaktan ako svaki infinitivni niz tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni podniz koji konvergira u istu tačku prostora. Bolcano-Vajerštrasova teorema navodi da je podskup Euklidovog prostora kompaktan u ovom sekvencijalnom smislu ako i samo ako je zatvoren i ograničen. Stoga, ako se izabere beskonačan broj tačaka u zatvorenom jediničnom intervalu [0, 1] neke od tih tačaka će biti proizvoljno blizo nekim realnom broju u tom prostoru. Na primer, neki od brojeva 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … se akumuliraju do 0 (drugi se akumuliraju do 1). Isti skup tačaka se ne bi akumulirao do bilo koje tačke otvorenog jediničnog intervala (0, 1); tako da otvoreni jedinični interval nije kompaktan. Sam Euklidov prostor nije kompaktan, jer nije ograničen. Na primer, niz tačaka 0, 1, 2, 3, … nije niz koji konvergira u bilo koji realni broj.

Osim zatvorenih i ograničenih podskupova Euklidovog prostora, tipični primeri kompaktnih prostora obuhvataju prostore koji se ne sastoje od geometrijskih tačaka već od funkcija. Termin kompaktan je uveo u matematiku Moris Freše 1904. godine kao destilaciju ovog koncepta. Kompaktnost u ovoj generalnijoj situaciji igra ekstremno važnu ulogu u matematičkoj analizi, zato što se mnoge klasične i važne teoreme analize 19. veka, kao što je teorema ekstremne vrednosti, lako generalizuju u ovoj situaciji. Tipičnu primenu pruža Arcela-Askolijeva teorema ili Peanova teorema postojanja, prema kojoj je moguće izvesti zaključak o postojanju funkcije s nekim traženim svojstvima kao ograničavajući slučaj date elementarnije konstrukcije.

Literatura

• Alexandrov, Pavel; Urysohn, Pavel (1929), „Mémoire sur les espaces topologiques compacts”, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the section of mathematical sciences, 14 .
• Arkhangel'skii, A.V.; Fedorchuk, V.V. (1990), „The basic concepts and constructions of general topology”, Ур.: Arkhangel'skii, A.V.; Pontrjagin, L.S., General topology I, Encyclopedia of the Mathematical Sciences, 17, Springer, ISBN 978-0-387-18178-3 .
• Arkhangel'skii, A.V. (2001). „Compact space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Wilhelm Engelmann  (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
• Borel, Émile (1895), „Sur quelques points de la théorie des fonctions”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3, 12: 9—55, JFM 26.0429.03 
• Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications, MR 0124178 .
• Arzelà, Cesare (1895), „Sulle funzioni di linee”, Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., 5 (5): 55—74 .
• Arzelà, Cesare (1882—1883), „Un'osservazione intorno alle serie di funzioni”, Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142—159 .
• Ascoli, G. (1883—1884), „Le curve limiti di una varietà data di curve”, Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 18 (3): 521—586 .
• Fréchet, Maurice (1906), „Sur quelques points du calcul fonctionnel”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 22 (1): 1—72, doi:10.1007/BF03018603 .
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976), Rings of continuous functions, Springer-Verlag .
• Kelley, John (1955), General topology, Graduate Texts in Mathematics, 27, Springer-Verlag .
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times (3rd изд.), Oxford University Press (објављено 1990), ISBN 978-0-19-506136-9 .
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars .
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, MR 0205854 .
• Scarborough, C.T.; Stone, A.H. (1966), „Products of nearly compact spaces” (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, No. 1, 124 (1): 131—147, JSTOR 1994440, doi:10.2307/1994440 .
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover Publications reprint of 1978 изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446 
• Willard, Stephen (1970), General Topology, Dover publications, ISBN 978-0-486-43479-7 

Spoljašnje veze

• Countably compact at PlanetMath.org.
• Sundström, Manya Raman (2010). „A pedagogical history of compactness”. arXiv:1006.4131v1  [math.HO].