Косинусна теорема

Из Википедија

Скочи на: навигација, претрага

Косинусна теорема је формула која се користи за решавање троугла у тригонометрији у равни:

$\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$

где је C угао насупрот странице с, тј. угао између страница а и б троугла.

У сферној тригонометрији то је формула за решавање сферног троугла:

$\cos c= \cos a \cos b+\sin a \sin b \cos C, \; \cos C = - \cos A \cos B + \sin A \sin B \cos c,$

где је а страна насупрот угла А, страна б је насупрот угла Б, а страна с је насупрот угла С.

[уреди] Тригонометрија у равни

Косинусна теорема има исту аналитичку форму независно од тога да ли је дати троугао оштроугли (сл.1) или тупоугли (сл.2). Међутим, обично се посебно доказује сваки од та два случаја, као што је урађено у доказу који следи.

Сл.1. Оштроугли троугао

Косинусна теорема: У сваком троуглу је $\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$ где је насупрот странице а угао α.

Доказ: На слици десно (сл.1) дат је оштроугли троугао АБЦ са висином CD. Из правоуглих троуглова БЦД и АЦД према Питагориној теореми је $a^2=h^2+(c-p)^2,\; h^2=b^2-p^2,$ а отуда заменом добијамо прво $\ a^2=b^2+(c^2-2pc+p^2)-p^2,$ а онда $\ a^2=b^2+c^2-2pc.$ Из правоуглог троугла АЦД добијамо $p=b\cos\alpha,\,$ и заменом у претходну једнакост $\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$ што је и требало доказати.

Даље, на слици (2) лево, дат је тупоугли троугао АБЦ, са углом α у темену А, већим од правог угла (90°). Висина CD = х пада на продужетак странице АБ у тачку D тако да је D-А-Б, те је спољашњи угао ЦАД = 180°-α. У троуглу ЦАД је

ДА = $\ p = b \cos(180^o-\alpha)=-b\cos\alpha.$

Са друге стране, троуглови БЦД и АЦД су правоугли и, према Питагориној теореми имамо $a^2=h^2+(c+p)^2,\; h^2=b^2-p^2,$ па заменом добијамо

$\ a^2=b^2-p^2+(c^2+2pc+p^2)=b^2+c^2+2pc,$ тј.

$\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$ као што је и требало доказати. Крај доказа.

Косинусна теорема се може доказати једноставно и без разматрања различитих распореда користећи векторски рачун. У горњим ознакама,

$a^2=\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{AC\overrightarrow{AB})^2=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}^2=b^2-2bc\cos\alpha+c^2.$

( $\cdot$ означава скаларни производ.)

Другачијим означавањем троугла, добићемо и остале две формуле, које се заједно са наведеном називају косинусна теорема: $b^2=c^2+a^2-2ba\cos\beta,\; c^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta.$ Када је, на пример угао у темену С = γ=90°, због цос(90°)=0, последња формула постаје $c 2 = a 2 + b 2,$ тј. Питагорина теорема је посебан случај косинусне теореме. Поред тога, косинусна теорема има још неких важних последица.

Теорема 2: Квадрат било које странице троугла је мањи, једнак, или већи од збира квадрата остале две странице, зависно од тога да ли је супротни угао оштар, прав, или туп.

Доказ: Ако је $\alpha<90^o,\,$ тада је $\cos\alpha > 0\,$ и $a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha <b^2+c^2.\,$; Ако је $\alpha=90^o,\,$ тада је $\cos\alpha=0\,$ и $c^2=a^2+b^2.\,$; Ако је $\alpha>90^o,\,$ тада је $\cos\alpha < 0\,$ и $a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha > b^2+c^2.\,$ Крај доказа.

Важи и супротна теорема.

Теорема 3: Угао троугла је оштар, прав, или туп зависно од тога да ли је квадрат супротне странице троугла редом мањи, једнак, или већи од збира квадрата остале две стране.

Доказ: Следи из косинусне теореме $\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$; Ако је $a^2<b^2+c^2,\,$ тада је $\cos\alpha>0,\,$ и према томе $\alpha < 90^o.\,$; Ако је $a^2=b^2+c^2,\,$ тада $\cos\alpha=0,\,$ тј. $\alpha=90^o.\,$; Ако је $a^2>b^2+c^2,\,$ тада је $\cos\alpha<0,\,$ тј. $\alpha>90^o.\,$ Крај доказа.

Теорема 4: У било којем паралелограму збир квадрата дијагонала једнак је збиру квадрата све четири његове стране.

Сл.3. Паралелограм

Доказ

На слици (3) десно, дат је паралелограм АБЦД са дијагоналама АЦ и БД и углом БАД = α.

Тада је $\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=2\overline{AB}^2+2\overline{BC}^2.$ Наиме, како је угао ЦБА = 180°-α, према косинусној теореми из троуглова АДБ, АБЦ добијамо $\overline{BD}^2=\overline{AD}^2+\overline{AB}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\alpha,$

$\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(180^o-\alpha)$

$=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+2\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\alpha,$ јер је $\overline{BC}=\overline{AD}.$ Сабирањем ових једначина, добијамо