Систем итериране функције

Троугао Серпинског креиран путем ИФС

ИФС фракталног пламена дизајниран од стране Криса Урситија

У математици, систем итериране функције или ИФС (од енгл. iterated function system) је поступак конструисања фрактала, при чему су добијене конструкције увек самосличне.

ИФС фрактали, како се обично зову, могу бити било које димензије, иако се обично рачунају и цртају у 2Д. Фрактал је начињен од унија неколико копија самог себе, при чему је свака копија трансформирана функцијом (отуда и систем функције). Канонски пример је троугао Серпинског. Функције су обично контрактивне, што значи да зближавају тачке и смањивају облике. Стога је облик ИФС фрактала начињен од неколико мањих копија самог себе које се могуће преклапити, сваки од којих је начињен од копија самог себе, и тако ад инфинитум. Ово је исходиште самосличне фракталне нарави.

Дефиниција

Формално,

$S=\bigcup _{i}^{N}f_{i}(S),\,$

где су

$S\subset \mathbb {R} ^{n}\,$

и

$f_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$

функција која се итерира. С је фиксна тачка Хутчинсоновог оператора, који је унија функција $f_{i}$.

Својства

Колекција функција $f_{i}$ скупа с композицијом обликује моноид. Ако постоје само две такве функције, моноид је диадички моноид. Композиција може бити визуализирана као бесконачно бинарно стабло у којем се на сваком чвору може обавити композиција с једном или другом функцијом (тј., траверсирати левом или десном граном). У општем случају, ако постоји п функција, тада се композиција може визуализовати као п-адично стабло.

Будући да композиција функције узима овај облик, елементи моноида се могу схватити као изоморфни с п-адичним бројевима, тј. свака цифра п-адичног броја означава функцију с којом се компонира.

Група аутоморфизама диадичког моноида је модуларна група - ово се може схватити за опис фракталне самосличности многих фрактала, укључујући Канторов скуп и де Рамове криве.

Примери

За сваку од функција $f_{i}$ се захтева да буде линеарна, или тачније афина тронсформација и стога може бити представљена матрицом. Међутим, ИФС-ови такође могу да бугу изграђени од нелинеарних функција, укључујући пројективне трансформације и Мобиусове трансформације. Фрактални пламен је пример ИФС-а са нелинеарним функцијама.

Најуобичајенији алгоритам за рачунање ИФС фрактала је игра хаоса. Састоји се од одабира случајне тачке на равни, те итеративне примене једне од случајно одабраних функција из система функција те исцртавања тачке. Алтернативни алгоритам је генерирање свих могућих следова функција до дате раздаљине, те исцртавања резултата примене сваког од ових следова функција на иницијалну тачку или облик.

Сваки од ових алгоритама пружа глобалну конструкцију која генерише тачке расподељене дуж целог фрактала. Ако се црта мало подручје фрактала, многе ће од ових тачака падати изван граница заслона, што чини зумирање унутар ИФС конструкција непрактичним. Тамо где се захтева висок ступањ детаљности на малом подручју фактала, методе локалне конструкције засноване на прорачуну унапредних орбита и судбине појединих тачака би могле бити делотворне (иако ниједна програмска подршка за рјешавање ИФС-ева то не чини).

Пример: фрактална "папрат"

Фрактална папрат

Следи пример слике папрати израчунате користећи систем итериране функције.

Прва исцртана тачка је исходиште (x₀ = 0, y₀ = 0) те су потом нове тачке итеративно израчунате случајном применом једне од следећих координатних трансформација:

x_{н + 1} = 0

y_{н + 1} = 0.16 y_н

Ова је координатна трансформација одабрана 1% времена и пресликава сваку тачку у тачку у линијском сегменту приказаним зелено на слици.

x_{н + 1} = 0.2 x_н − 0.26 y_н

y_{н + 1} = 0.23 x_н + 0.22 y_н + 1.6

Ова координатна трансформација је одабрана 7% времена и пресликава сваку тачку унутар црног правоугаоника у тачку унутар црвеног правоугаоника на слици.

x_{н + 1} = −0.15 x_н + 0.28 y_н

y_{н + 1} = 0.26 x_н + 0.24 y_н + 0.44

Ова координатна трансформација је одабрана 7% времена и пресликава сваку тачку унутар црног правоугаоника у тачку унутар тамноплавог правоугаоника на слици.

x_{н + 1} = 0.85 x_н + 0.04 y_н

y_{н + 1} = −0.04 x_н + 0.85 y_н + 1.6

Ова координатна трансформација је одабрана 85% времена и пресликава сваку тачку унутар црног правоугаоника у тачку унутар свијетлоплавог правоугаоника на слици.

Прва координатна трансформација исцртава стабљику. Друга исцртава доњи лист папрати налево. Трећа исцртава доњи лист надесно. Четврта генерира сукцесивне копије стабљике и доњих листова како би употпунила папрат. Рекурзивна нарав ИФС-а јамчи да је целина реплика сваког од листова. Напомена: Папрат је унутар опсега -5 <= x <= 5 и 0 <= y <= 10.

Менгеров сунђер, 3-димензионални ИФС.

Историја

ИФС-еве је у данашњег облику замислио Џон Хутчинсон 1981. и популарисао Мајкл Барнсли у својој књизи Фрактали Свуда. Уопштену идеју де Рамове криве, самосличне криве је описао Џорџ де Рам 1957. Још се раније појавио Канторов скуп, првотно описан 1884.

Литература

• Дравес, Сцотт; Рецкасе, Ерик (2007). „Тхе Фрацтал Фламе Алгоритхм” (ПДФ). Архивирано из оригинала (пдф) 09. 05. 2008. г. Приступљено 17. 7. 2008. 
• Фалцонер, Кеннетх (1990). Фрацтал геометрy: Матхематицал фоундатионс анд апплицатионс. Јохн Wилеy анд Сонс. стр. 113–117, 136. ISBN 0-471-92287-0. 

Види још

• L-састав
• Фрактална компресија
• Фрактални пламен

Спољашње везе

• ИФС-а и Јава илустрација с неколико уграђених примера
• The Algoritam fraktalnog plamena