Banahova teorema o nepokretnoj tački
Banahova teorema o nepokretnoj tački (takođe poznata kao teorema o kontrakcionom preslikavanju ili princip kontrakcionog preslikavanja) je važan alat u teoriji metričkih prostora; ona garantuje postojanje i jedinstvenost nepokretnih tačaka određenih preslikavanja iz nekog metričkog prostora u samog sebe, i daje konstruktivni metod za pronalaženje tih nepokretnih tačaka. Teorema je dobila ime po Stefanu Banahu, (1892—1945), koji ju je i izrekao 1922. godine
Teorema[uredi | uredi izvor]
Neka je (X, d) neprazan kompletan metrički prostor. Neka je T : X → X kontrakcija na X, to jest: postoji nenegativan realan broj q < 1, takav da
za svako x, y iz X. Tada preslikavanje T ima jednu i samo jednu nepokretnu tačku x* u X (ovo znači da Tx* = x*). Štaviše, ta nepokretna tačka može da se nađe na sledeći način: pođe se od proizvoljnog elementa x0 iz X i definiše se iterativni niz, kao xn = Txn-1 za n = 1, 2, 3, ... ovaj niz konvergira, i limes mu je upravo x*. Sledeća nejednakost opisuje brzinu konvergencije:
- .
Ekvivalentno,
i
- .
Najmanja vrednost q se ponekad naziva Lipšicovom konstantom.
Valja uočiti da zahtev d(Tx, Ty) < d(x, y) za sve različite x i y u opštem slučaju nije dovoljan da osigura postojanje nepokretne tačke, kao što se vidi iz preslikavanja T : [1,∞) → [1,∞) sa T(x) = x + 1/x, koje nema nepokretnu tačku. Međutim, ako je prostor X kompaktan, onda i ova slabija pretpostavka implicira sve iskaze teoreme.
Kada se teorema koristi u praksi, obično je najteži deo da se definiše X na takav način da T zaista slika iz X u X, to jest da je Tx uvek element iz X.
Dokaz[uredi | uredi izvor]
Uzmimo bilo koje . Za svako , definišemo . Tvrdimo da za svako , važi sledeće:
- .
Da bismo ovo pokazali, koristićemo indukciju. Gornji iskaz je tačan za slučaj , za
- .
Pretpostavimo da gornje tvrđenje važi za neko . Tada imamo
.
Po indukciji, gornje tvrđenje važi za svako .
Neka je . Kako je , možemo da nađemo veliko tako da
- .
Koristeći gornje tvrđenje, za svako , gde je , imamo
.
Nejednakost u prvoj liniji sledi iz uzastopne primene nejednakosti trougla; red u četvrtoj liniji je geometrijski red sa i stoga konvergira. Gore se vidi da je Košijev niz u i stoga konvergira po kompletnosti. Znači, neka je . Uvodimo dva tvrđenja: (1) je nepokretna tačka za . To jest, ; (2) je jedina nepokretna tačka za u .
Da bi se videlo (1), uočavamo da za svako ,
- .
Kako je za , teorema o dva policajca pokazuje da . Ovo pokazuje da kada . Međutim kada , i limesi su jedinstveni; stoga mora da važi .
Da bi se pokazalo (2), pretpostavimo da takođe zadovoljava jednakost . Tada
- .
Ako se setimo da , gornji iskaz implicira da , što pokazuje da , odakle po pozitivnoj definitnosti sledi i dokaz je kompletan.
Primene[uredi | uredi izvor]
Standardna primena je dokaz Pikard-Lindelefove teoreme o postojanju i jedinstvenosti rešenja određenih ordinarnih diferencijalnih jednačina. Traženo rešenje diferencijalne jednačine se izrazi kao nepokretna tačka pogodnog integralskog operatora koji transformiše nepokretne funkcije u nepokretne funkcije. Banahova teorema o nepokretnoj tački se zatim koristi da pokaže da ovaj operator ima jedinstvenu nepokretnu tačku.
Obratna tvrđenja[uredi | uredi izvor]
Postoji nekoliko obratnih tvrđenja za Banahov princip kontrakcije. Sledi jedan koji je dao Česlav Besaga (Czesław Bessaga):
Neka je preslikavanje apstraktnog skupa, takvo da svaka iterirana funkcija f n ima jedinstvenu nepokretnu tačku. Neka je q realan broj, 0 < q < 1. Onda postoji kompletan metrički prostor na X, takav da je f kontraktivna, i q je kontrakciona konstanta.
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands. 1981. ISBN 978-90-277-1224-0. See chapter 7.
- Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag. . New York. ISBN 978-0-387-00173-9..
- Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2.
- William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory. Kluwer Academic. . London. 2001. ISBN 978-0-7923-7073-4..
- ---
Ovaj članak je delom zasnovan na članku koji se može naći na stranici Planet Math i predstavlja otvoren sadržaj.