Izvod složene funkcije

Izvod složene funkcije $f'(g(x))$ koristi se za funkcije komponovane od više elementarnih funkcija (npr. $\sin {x^{2}}$ ili $e^{\sin {x}}$). Izvod složene funkcije ne može se dobiti preko tablice izvoda elementarnih funkcija, već se on računa prema formule izvedene iz teoreme:

Teorema

Za složenu funkciju $y=f(g(x))$ kaže se da postoji izvod u tački $x$, ako funkcija $g(x)$ ima izvod u tački $x$ i ako funkcija $f(g(x))$ ima izvod u tački $u=g(x)$, a računa se prema formuli:

$y'=f'(u)\cdot g'(x)$

odnosno, koristeći Lajbnicove oznake, formula se može napisati na sledeći način:

${dy \over dx}={dy \over du}\cdot {du \over dx}$

Primer: Izvod funkcije $y=\sin {x^{3}}$

Ako stavimo da je $y=f(g(x))$, gde je:

$f(u)=\sin {u}$,

dok je:

$u=g(x)=x^{3}$,

onda je primenom formule za izvod:

$y'=f'(u)\cdot g'(x)$,

odnosno, zamenom funkcije $u$ u formuli:

$y'=(\sin {u})'\cdot (x^{3})'$

Primenom tablice izvoda za elementarne funkcije za slučaj $\sin {u}$ dobija se:

$y'=\cos {u}\cdot 3x^{2}$,

odnosno:

$y'=3x^{2}\cdot \cos {x^{3}}$.

Pravilo stepena

Izvod funkcije: $y=(g(x))^{n}$

Zadata funkcija je kompozicija dve elementarne funkcije $y=f(u)$, gde je $u$ elementarna funkcija: $u=g(x)^{n}$, pa se njen izvod prema formuli može dobiti na sledeći način:

$y'=f'(u)\cdot u'$ .... $(1)$

izvod elementarne funkcije $u$ prema tablici izvoda iznosi:

$u'(x)=n\cdot g(x)^{n-1}$ ... $(2)$

pa se zamenom (2) u (1) dobija:

$f'(x)=n\cdot (g(x))^{n-1}\cdot g'(x)$

Pravilo eksponenta

Izvod funkcije : $y=(e^{g(x)})$

Zadata funkcija je kompozicija dve elementarne funkcije $y=f(u)$, gde je $f$ elementarna funkcija: $f(u)=e^{u}$, pa se njen izvod prema formuli može dobiti na sledeći način:

$y'=f'(u)\cdot u'$,

$y'=(e^{u})'\cdot u'$,

s obzirom da je prema tablici izvoda:

$(e^{u})'=e^{u}$,

izvod zadate složene funkcije iznosi:

$y'=e^{u}\cdot u'$

ili

$y'=g'(x)\cdot e^{g(x)}$

Izvod složene funkcije sa dva argumenta

Postoje i složeniji slučajevi. Tako, ako je

$z=f(x,y)$ a $x=g(t)$ i $y=h(t)$,

tada je

${dz \over dt}={dz \over dx}\cdot {dx \over dt}+{dz \over dy}\cdot {dy \over dt}$

Opšti slučaj

U opštem slučaju, neka su data dva seta funkcija y i u, tako da je

$y_{1}=f_{1}(u_{1}\ldots u_{p})$

$\vdots$

$y_{m}=f_{m}(u_{1}\ldots u_{p})$

i

$u_{1}=g_{1}(x_{1}\ldots x_{n})$

$\vdots$

$u_{p}=g_{p}(x_{1}\ldots x_{n})$

tada se parcijalni izvod $\partial y_{i} \over \partial x_{j}$ računa kao

${\partial y_{i} \over \partial x_{j}}=\sum _{k=1}^{p}{\partial y_{i} \over \partial u_{k}}\cdot {\partial u_{k} \over \partial x_{j}}$,

dok diferencijal $dy_{i};\ i=1\ldots m$ iznosi

$dy_{i}=\sum _{j=1}^{n}(\sum _{k=1}^{p}{\partial y_{i} \over \partial u_{k}}\cdot {\partial u_{x} \over \partial x_{i}})dx_{j}$.

Vidi još

• Izvod inverzne funkcije