Таблица извода

Из Википедије, слободне енциклопедије

Једна од главних операција у математичкој анализи је налажење извода. Ова табела даје списак извода многих функција. Ознаке f и g представљају диференцијабилне функције реалних бројева, а c је реалан број. Ове формуле су довољне да се диференцира било која елементарна функција. Напомена: У даљем тексту означаваћемо извод функције f на уобичајен начин: {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} f(x), да бисмо назначили да се диференцира по параметру x.

Општа правила извода[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак правила извођења
Линеарност
\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
Извод производа
\left({fg}\right)' = f'g + fg'
Извод количника
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
Извод сложене функције
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
Извод инверзне функције
(f^{-1})' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}.\,

Изводи простих функција[уреди]

{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} c = 0
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x = 1
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} cx = c
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} |x| = {|x| \over x} = \sgn x,\qquad x \ne 0
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^c = cx^{c-1} где су и xc и cxc-1 дефинисани
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left({1 \over x}\right) = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left({1 \over x^c}\right) = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sqrt{x} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Изводи експоненцијалних и логаритамских функција[уреди]

{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} c^x = {c^x \ln c },\qquad c > 0
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} e^x = e^x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \ln x = {1 \over x},\qquad x > 0
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \ln |x| = {1 \over x}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^x = x^x(1+\ln x)

Изводи тригонометријских функција[уреди]

{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sin x = \cos x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \cos x = -\sin x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}


{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sec x = \tan x \sec x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \csc x = -\csc x \cot x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arccsc x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Изводи хиперболичких функција[уреди]

{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sinh x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \cosh x = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arccsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}