Таблица извода

Једна од главних операција у математичкој анализи је налажење извода. Ова табела даје списак извода многих функција. Ознаке f и g представљају диференцијабилне функције реалних бројева, а c је реалан број. Ове формуле су довољне да се диференцира било која елементарна функција. Напомена: У даљем тексту означаваћемо извод функције f на уобичајен начин: ${d \over dx} f(x)$, да бисмо назначили да се диференцира по параметру $x$.

Општа правила извода

За више информација погледајте чланак правила извођења

Линеарност

$\left({cf}\right)' = cf'$

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

Извод производа

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$

Извод количника

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

Извод сложене функције

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

Извод инверзне функције

$(f^{-1})' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}.\,$

Изводи простих функција

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} cx = c$

${d \over dx} |x| = {|x| \over x} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1}$ где су и x^c и cx^c-1 дефинисани

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

Изводи експоненцијалних и логаритамских функција

${d \over dx} c^x = {c^x \ln c },\qquad c > 0$

${d \over dx} e^x = e^x$

${d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1$

${d \over dx} \ln x = {1 \over x},\qquad x > 0$

${d \over dx} \ln |x| = {1 \over x}$

${d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)$

Изводи тригонометријских функција

${d \over dx} \sin x = \cos x$ ${d \over dx} \cos x = -\sin x$ ${d \over dx} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}$ ${d \over dx} \sec x = \tan x \sec x$ ${d \over dx} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x}$ ${d \over dx} \csc x = -\csc x \cot x$

${d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$ ${d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$ ${d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}$ ${d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$ ${d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}$ ${d \over dx} \arccsc x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

Изводи хиперболичких функција

${d \over dx} \sinh x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ${d \over dx} \cosh x = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ${d \over dx} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$ ${d \over dx}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$ ${d \over dx}\,\operatorname{arccsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$