Функција (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Функција која пресликава обојене облике у њихову боју.

Функција или пресликавање је правило придруживања једног елемента из скупа \,X који се тада назива домен функције, другом елементу из скупа \,Y - кодомен функције, који се још назива и контрадомен функције, скуп копија, скуп слика. Домен функције fсе често означава са \mathcal{D}(f), а кодомен са \mathcal{K}(f).

Елементи скупа \,X називају се аргументи, независно променљиве, оригинали пресликавања, ликови, или елементи домена. Скуп Y назива се кодомен (контрадомен) функције, скуп копија, слика, итд. Често се домен функције f означава са \mathcal{D}(f), а кодомен понекад \mathcal{K}(f).

За записивање функција обично се користе неке од следећих ознака: f:X\rightarrow Y,, f:x\rightarrow y,\; x\in X,\; y\in Y. или y=f(x),. Опсег, распон, подручје дефиниције функције, односно домен функције f представља скуп вредности x за које функција достиже вредности f(x).

Основна карактеристика функције је да за једну улазну вредност добија највише једна излазна вредност.

Дефиниција[уреди]

Функција је један од основних појмова математике. Појављује се у већини области математике, у зависности од тога шта представљају домен и кодомен.

Аналитичка дефиниција[уреди]

Ако две променљиве a и b стоје у таквој вези да се мењањем вредности једне од њих, нпр. a мења и вредност друге променљиве - b, онда се променљива b назива функцијом променљиве a.

Функција може имати више променљивих.

Дефиниције из теорије скупова[уреди]

Функција, односно релација f=\{(a,\alpha),(b,\beta),(c,\beta)\}.\, Скуп А је скуп првих елемената уређених парова, на графу то је полазни скуп стрелице и назива се домен. Скуп B назива се кодомен функције.

Скуп се у математици узима за основни појам. Декартов производ скупова је скуп уређених парова. Уређени пар елемената чине било каква два елемента за које је важан поредак. Релација је непразан подскуп Декартовог производа скупова, а функција је једна врста релације.

Дефиниција 1
Нека су A и B непразни скупови. Тада се бинарна релација f\subseteq A\times B зове функција или пресликавање из A у B, ако важи:
(\forall x\in A)(\exists!y\in B)y=f(x),

односно ако за сваки елемент из скупа A, постоји тачно један елемент из скупа B тако да је елемент из B слика елемента из A.

Дефиниција 2 (еквивалентна претходној)
бинарна релација f из A у B је функција ако је
((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f)\Rightarrow (y=z)),

тј. ако су оригинали једнаки, и слике морају бити једнаке.

Функција у топологији[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Функција (топологија)

Функција или пресликавање у тополошком смислу је правило придруживања једног елемента из тополошког простора \,X који се тада назива домен функције, другом елементу из тополошког простора \,Y - кодомен функције.

Хомоморфизам је пресликавање између две алгебарске структуре истог типа, које чува њихову форму.

Врсте хомоморфизама:

Непрекидност[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Непрекидна функција

Непрекидна функција из једног тополошког простора у други је функција чија је инверзна слика било ког отвореног скупа отворена. Непрекидна пресликавања су морфизми тополошког простора. Интуитивно, непрекидна функција је она функција, која за довољно мале промене вредности аргумента има произвољно мале промене вредности функције.

Врсте пресликавања[уреди]

Сурјективно пресликавање[уреди]

Дефиниција
Функција f:A\rightarrow B зове се сурјекција, или "на"-пресликавање, ако је \mathcal{K}(f)=B,

што се може записати и као:

(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;y=f(x).

Односно, функција је сурјекција ако и само ако су сви елементи кодомена нечије слике. Сурјекција по дефиницији дозвољава „дупле копије“, тј. да се више елемената из домена пресликавају у исти елемент кодомена.

Инјективно пресликавање[уреди]

Дефиниција
Функција f:A\rightarrow B зове се инјекција, или "1-1"-пресликавање, ако важи:
(\forall x_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow (x_1=x_2).

Дакле, иста копија не може бити резултат копирања различитих оригинала. Инјекција по дефиницији дозвољава да у скупу копија постоје елементи који уопште нису резултат пресликавања.

Бијективно пресликавање[уреди]

Дефиниција
Функција која је сурјекција и инјекција зове се бијекција.

Бијекцију називамо и обострано једнозначно пресликавање.

Функција реалне променљиве[уреди]

Како у математичкој анализи, тако и у још појединим областима математике, а можда и у целој математици, функција која се можда и најчешће користи је тзв. функција реалне променљиве.

Под функцијом реалне променљиве, мисли се на функцију f:X\rightarrow Y, где је X \subseteq \mathbb{R} и Y = \mathbb{R}. Другим речима, функција реалне променљиве је свака функција чији је домен подскуп скупа реалних бројева \mathbb{R} или цео скуп \mathbb{R}, а кодомен јој је \mathbb{R}.

Парност функције[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Парност функције
Функција f(x) = x^2 је парна функција.
Функција f(x) = x^3 је непарна функција.
Дефиниција
За скуп X \subset \mathbb{R} кажемо да је симетричан, ако за свако x \in X и -x \in X.

Функцију дефинисану на симетричном скупу називамо парном, ако за је свако x \in X, f(x) = f(-x). Свака парна функција је симетрична у односу на y осу.

Функцију дефинисану на симетричном скупу називамо непарном, ако за је свако x \in X, f(x) = -f(-x). Свака непарна функција је симетрична у односу на координатни почетак.

Већина функција није ни парна, ни непарна, али се свака функција дефинисана на симетричном подскупу може представити као збир парне и непарне функције.

Периодичност функције[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Периодичност функције
Илустрација периодичне функције са периодом P.
Дефиниција
За функцију реалне променљиве f:X\rightarrow \mathbb{R} кажемо да је периодична са периодом T, ако постоји T> 0 такво да важи:
f(x+T) = f(x).

Најмањи такав број T (ако постоји), назива се основним периодом функције f.

Интересантна периодична функција је, рецимо: Дирихлеова функција D\colon\R\mapsto\{0,1\} дефинисана као:

D(x) = \begin{cases}1, &      x\in \mathbb Q, \\
 0, & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q, \end{cases}

која је периодична, али нема најмањи период.

Монотоност функције[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Монотоност функције
Дефиниција
Монотоност функције означава својство оних функција које задовољавају било који од следећих услова:
  • растућа функција
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \le f(x_{2}))
  • строго растућа функција
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}))
  • опадајућа функција
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \ge f(x_{2}))
  • строго опадајућа функција
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}))

За функцију која задовољава ово својство (тј. било које од четири наведена својства) кажемо да је монотона на кодомену. Специјално, за функцију која задовољава друго или четврто својство од четири наведена, кажемо да је строго монотона на кодомену.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Спољашње везе[уреди]