Neodređeni integral

U matematičkoj analizi neodređeni integral neke funkcije $f$ jeste diferencijabilna funkcija $F$ čiji je izvod jednak originalnoj funkciji $f$. Proces pronalaženja rešenja neogređenog integrala naziva se integracija, i ona je suprotna od operacije diferenciranja, koja je proces nalaženja izvoda neke funkcije.

Teorijski uvod

Neka je $F$ proizvoljna primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $(a,b)$, neodređeni integral definiše se kao:

$$\int f(x)dx=F(x)+C,(C=const,a<x<b)$$

Za primitivnu funkciju 𝐹(𝑥) funkcije 𝑓(𝑥) na intervalu 𝐼 važi:

• $d\int f(x)dx=f(x)dx$
• $(\int f(x)dx)\prime =f(x)$
• $\int dF(x)=F(x)+C,C\in R$

Definicija

Za funkciju $F:I\rightarrow \mathbb {R}$ se kaže da je primitivna (prvobitna) funkcija funkcije ${f}$ definisane na istom intervalu, ako važe sledeći uslovi:

• Funkcija $F$ je neprekidna na intervalu $I$
• Funkcija $F$ u svakoj unutrašnjoj tački intervala $I$ ima izvod, i pri tom je: $F'(x)=f(x)$.

Skup svih primitivnih funkcija funkcije ${f}$ na intervalu $I$ naziva se neodređeni integral funkcije ${f}$ na intervalu $I$ i obeležava sa $\int f(x)\,dx$, gde je ${f}$ podintegralna funkcija, a $f(x)\,dx$ podintegralni izraz.

Teorema 1

Ako je $F$ primitivna funkcija funkcije ${f}$ na intervalu $I$, onda je i svaka funkcija

$F+c$, gde je c∈ $\mathbb {R}$ proizvoljna konstanta, primitivna funkcija za ${f}$ na intervalu $I$.

Dokaz.

$(F(x)+c)'=F'(x)+c'=F'(x)=f(x)$

Ako funkcija $f$ ima primitivnu funkciju na intervalu $I$, onda na tom intervalu ima beskonačno mnogo primitivnih funkcija. Familija funkcija $\{F(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ predstavlja skup svih primitivnih funkcija za funkciju ${f}$ na intervalu $I$, gde je $F$ jedna njena primitivna funkcija na intervalu $I$.

Teorema 2

Neka su $F$ i $G$ primitivne funkcije za ${f}$ na intervalu $I$, onda postoji realna konstanta s takva da važi $G(x)=F(x)+c$, x∈ $I$

Dokaz. Definišimo funkciju $r(x)=F(x)$ − $G(x)$ za x∈ $I$. Funkcije $F$ i $G$ su neprekidne na intervalu $I$ ⇒ funkcija $r$ je neprekidna (kao razlika neprekidnih funkcija)

$F$ i $G$

su diferencijabilne u $intI$ ⇒ funkcija $r$ je diferencijabilna u $intI$ (kao razlika diferencijabilnih funkcija), i pri tom važi:

$r'(x)=(F(x)$ − $G(x))'=$ $F'(x)$ − $G'(x)=f(x)$ −$f(x)=0$.

Kako je izvod funkcije $r$ jednak 0 u svakoj tački intervala $I$ ⇒ $r$ je konstantna funkcija na $I$, odnosno:

$(\exists c\in \mathbb {R} )(\forall x\in I)c=r(x),$ ⇒ $c=F(x)$ − $G(x)$,

te je $G(x)=F(x)+c$, c∈ $\mathbb {R}$, x∈ $I$.

Teorema 3

Neka je funkcija $F$ neprekidna na intervalu $I$ i diferencijabilna u $intI$. Tada je : $\int dF(x)=F(x)+c,$ c∈ $\mathbb {R}$, x∈ $I$.

Dokaz.

$\int dF(x)=\int F'(x)\,dx=\int f(x)\,dx=F(x)+c,$ c∈ $\mathbb {R}$, x∈ $I$

Teorema 4

Neka funkcija $f$ ima primitivnu funkciju na intervalu $I$. Tada u unutrašnjim tačkama intervala $I$ važi:$d\int f(x)\,dx=f(x)\,dx,$.

Dokaz.

$d\int f(x)\,dx=dF(x+c)=dF(x)=F'(x)\,dx=f(x)\,dx,$.

Teorema 5

Neka funkcije $f_{1}$ i $f_{2}$ imaju primitivne funkcije $F_{1}$ i $F_{1}$, redom, na intervalu $I$. Tada funkcija $f_{1}+f_{2}$ ima primitivnu funkciju $F_{1}+F_{2}$ na $I$, i važi:

$\int (f_{1}(x)+f_{2}(x))\,dx=\int f_{1}(x)\,dx+\int f_{2}(x)\,dx$

Dokaz

$F_{1}$ i $F_{2}$ primitivne funkcije za $f_{1}$ i $f_{2}$ na intervalu $I$ ⇒ $F_{1}$ i $F_{1}$ su neprekidne na $I$ i diferencijabline na $intI$ ⇒ Funkcija $F_{1}+F_{2}$ je neprekidna na intervalu $I$ i diferencijabilna na $intI$. Pri tom, važi: $(F_{1}(x)+F_{2}(x))'=F'_{1}(x)+F'_{2}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$

⇒ funkcija $f_{1}+f_{2}$ ima primitivnu funkciju $F_{1}+F_{2}$ na $I$.

$\int f_{1}(x)\,dx=F_{1}(x)+c_{1}$ i $\int f_{2}(x)\,dx=F_{2}(x)+c_{2}$, $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$

⇒ $\int f_{1}(x)\,dx+\int f_{2}(x)\,dx=F_{1}(x)+c_{1}+F_{2}(x)+c_{2}$,$c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$. Jednakost iz postavke teoreme će važiti ako važi skupovna jednakost:

$\{F_{1}(x)+F_{2}(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ = $\{F_{1}(x)+F_{2}(x)+c_{1}+c_{2}|c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}\,$,
a ona očigledno važi jer $c_{1}+c_{2}\in \mathbb {R}$.

Teorema 6

Neka funkcija $f$ ima primitivnu funkciju $F$ na intervalu $I$ i neka je $k\in \mathbb {R}$. Tada funkcija $kf$ ima primitivnu funkciju na $I$, i još ako je k≠0, važi: $\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$.

Dokaz.

$F$ je primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$, što znači da je neprekidna na $I$, diferencijabilna na unutrašnjosti intervala $I$ i važi: $F'(x)=f(x)$. Dakle, sledi da je i funkcija $kF$ neprekidna i važi: $(kF)'(x)=kF'(x)=kf(x)$, $x\in \mathbb {R}$. ⇒ $kF$ je primitivna fukncija funkcije $kf$ na intervalu $I$.

Neka je k≠0. Tada:
$\int kf(x)\,dx=kF(x)+c$, $c\in \mathbb {R}$,

$k\int f(x)\,dx=k(F(x)+c_{1})=kF(x)+kc_{1}$, $c_{1}\in \mathbb {R}$.

Jednakost iz postavke teoreme će važiti ako važi skupovna jednakost:

$\{kF(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ = $\{kF(x)+kc_{1}|c_{1}\in \mathbb {R} \}\,$

Zaista,

$\{kF(x)+kc_{1}|c_{1}\in \mathbb {R} \}\,$ ⊆ $\{kF(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ jer je $kc_{1}\in \mathbb {R}$

$\{kF(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ ⊆ $\{kF(x)+kc_{1}|c_{1}\in \mathbb {R} \}\,$ jer je $c=k{\frac {c}{k}}=kc_{1}\in \mathbb {R}$, k≠0.

Ako je k=0:

$\int kf(x)\,dx=\int 0\,dx=0+c=c$, $c\in \mathbb {R}$,

$k\int f(x)\,dx=0(F(x)+c_{1})=0$, $c_{1}\in \mathbb {R}$.

⇒ nisu jednaki za k=0.

Teorema 7.

Neka funkcija $f$ ima primitivnu fuknciju $F$ na intervalu $I$. Tada je funkcija ${\frac {1}{a}}F(ax+b)$ primitivna funkcija fukcije $f(ax+b)$ na $I$, $a,b\in \mathbb {R}$, i važi: $\int f(ax+b)\,dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)+c$, $c\in \mathbb {R}$.

Dokaz.

$F$ je primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ ⇒ $F'(x)=f(x)$ , $x\in intI$

⇒ $({\frac {1}{a}}F(ax+b))'={\frac {1}{a}}(F(ax+b))'(ax+b)'={\frac {1}{a}}f(ax+b)a=f(ax+b)$ ⇒ ${\frac {1}{a}}F(ax+b)$ je primitivna funkcija funkcije $f(ax+b)$ na posmatranom intervalu.

Ovo tvrđenje je korisno, jer olakšava rešavanje mnogih integrala. Primeri:

$\int (2x+3)^{7}\,dx={\frac {1}{2}}{\frac {(2x+3)^{8}}{8}}+c$

$\int cos(2x+3)\,dx={\frac {1}{2}}sin(2x+3)+c$

Metodi integracije

Nalaženje neodređenih integrala elementarnih funkcija je često mnogo teže nego nalaženje izvoda tih funkicja.

Zato postoje mnoge metode i načini za pronalaženje integrala, kao što su:

• Linearnost integrala
• Smena promenljive
• Metod parcijalne integracije
• Svođenje kvadratnog trinoma na kanonski oblik
• Metoda neodređenih koeficijenata
• Integracija pomoću rekurentnih formula
• Itegracija racionalnih funkcija
• Integracija trigonometrijskih funkcija

Literatura

• M. Rašajski, B. Malešević, T. Lutovac, B. Mihailović, N. Cakić: Linearna algebra, Univerzitet u Beogradu - Elektrotehnički fakultet i Akademska misao, Beograd. ISBN: 978-86-7466-680-7
• Milan Merkle, Matematička analiza -teorija i hiljadu zadataka-za studente tehnike, treće izmenjeno i dopunjeno izdanje, Akademska misao 2015.
• Cvetković D., Lacković I., Merkle M., Radosavljević Z., Simić S., Vasić P., Matematika 1 – Algebra, IX izdanje, Akademska misao, Beograd, 2006.
• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

Spoljašnje veze

• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Mathematical Assistant on Web Arhivirano na sajtu Wayback Machine (1. maj 2020) — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
• Function Calculator from WIMS
• Integral at HyperPhysics
• Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
• Integral calculator at Symbolab
• The Antiderivative at MIT
• Introduction to Integrals at SparkNotes
• Antiderivatives at Harvy Mudd College