Problem tri tela

Problem tri tela

U fizici, problem tri tela je problem određivanja trajektorija za svako od tri tela koja međusobno interaguju samo gravitacionom interakcijom. Prvi ko se bavio ovim problemom bio je Isak Njutn, a problem je pod imenom problem tri tela nazvao d'Alamber. Problemom su se bavili brojni poznati naučnici poput Ojlera i Lagranža. Krajem 19. veka nemački matematičar Hajnrih Bruns je dokazao da se problem tri tela ne može rešiti analitički.

Kralj Švedske Oskar II je oko 1800. osnovao nagradu za onoga ko nađe rešenje problema tri tela. U slučaju da problem ne bude rešen, bilo ko drugi koji bi dao značajan doprinos klasičnoj mehanici bio bi smatran vrednim te nagrade. Nagradu je na kraju dobio Poenkare, iako nije rešio originalni problem. Njegova verzija je odštampana sa brojnim važnim idejama koje su dovela do formiranja teorije haosa.

Danas su poznata rešenja specijalnih slučajeva problema tri tela, a za opšti problem nađena su rešenja za 16 specijalnih familija. Prvu familiju specijalnih slučajeva u kojima se tela vraćaju u početni položaj pronašli su Lagranž i Ojler. Druge dve familije su pronađene tek sa razvojem računara 1970-ih godina i to su Bruk-Enonova familija i Murova familija oblika osmice. 2013. godine dva srpska fizičara, Milovan Šuvakov i Veljko Dmitrašinović, pronašli su 13 novih familija rešenja problema tri tela.

Formulacija problema

Pod problemom N tela posmatra se sistem od N tela koja imaju mase, m₁, m₂, ..., m_N, koja se nalaze u inercijalnom referentnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ koja se kreću samo pod uticajem privlačne gravitacione sile kojom deluju jedno na drugo.

Sistem od N tela koja sva međusobno interaguju jedino privlačnim gravitacionim silama jedna na drugu, će evoluirati vremenom po Drugom Njutnovom zakonu:

${\ddot {\mathbf {x} }}_{i}(t)=\sum _{1\leqslant j\leqslant N,\,j\neq i}{\frac {\mathbf {F} _{ij}}{m_{j}}}$,

gde je $\mathbf {x} _{i}:{\mathcal {O}}\to \mathbb {R} ^{3}$, ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R}$ položaj tela i u trenutku t, masa m_j je masa tela j, a F_ij je gravitaciona sila kojom na telo i deluje telo ј. Gravitaciona sila F_ij se definiše kao:

$\mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}$,

gde je G gravitaciona konstanta i $\mathbf {r} _{ij}=\mathbf {x} _{j}-\mathbf {x} _{i}$ je vektor koji je usmeren od tela i do tela j.

Problem N-tela se svodi na proučavanje dinamičkih osobina sistema jednačina drugog reda.

Specijalni problemi

Ojlerov problem tri tela

Ojlerov problem tri tela je specijalan slučaj opšteg problema tri tela, kada se posmatra kolinearno kretanje pri kom se tri tela proizvoljnih masa kreću duž prave linije. Primer Ojlerovog problema je aproksimirani sistem Sunce-Zemlja-Mesec.

Lagranžov problem tri tela

Glavni članak: Lagranžova tačka

Slika koja prikazuje Lagranžove tačke u sistemu u kome je jedno telo daleko masivnije od drugog (npr. Sunce i Zemlja. U takvom sistemu se čini se da tačke L₃–L₅ nalaze na istoj orbiti kao i manje telo, iako se one zapravo nalaze malo izvan njegove orbite.

Lagranžov problem tri tela odnosi se na problem tri tela među kojima jedno ima zanemarljivu masu u poređenju sa preostala dva. U ovakvom sistemu zanemaruje se gravitacioni uticaj malog tela, tako da se dva teža tela kreću po kružnim putanjama oko zajedničkog centra mase. Rešenje ovakvog problema su pet tačaka, nazvanih Lagranžove tačke, u kojima sistem dostiže ravnotežni položaj i za svaku od tačaka ispitana je njena stabilnost.

Sudmanov problem tri tela

Finski matematičar Karl Sundman je 1912. našao rešenje za problem tri tela u pojednostavljenom slučaju:

1. Sudare je posmatrao analitički, iako je Karl Sigel dokazao da se sudari kod kojih učestvuje više od dva tela ne mogu razmotriti analitičkim putem.
2. Razmatrao je samo jedan slučaj singulariteta u kojima ne dolazi do sudara, iako je pronađeno da postoji više.

Problem koji je postavio Sundman na veći broj tela je generalizovao Kvidong Vang 1991. godine.