1 + 1 + 1 + 1 + ...

Niz 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Nakon izravnanja

Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presek linije je -1/2.

U matematici,  1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, napisano i kao $\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}$, $\sum _{n=1}^{\infty }1^{n}$, ili jednostavno $\sum _{n=1}^{\infty }1$, je divergentni red, što znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do granice u realnim brojevima. Niz 1ⁿ može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom 1. Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1), ne konvergira u realne brojeve, ni u r–adske brojeve za neko p. U kontekstu proširene linije realnog broja

$\sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,$

jer se njen niz parcijalnih suma povećava monotono bez granica.

Gde se zbir n⁰ javlja u fizičkim aplikacija, ponekad može da se tumači od zeta funkcije regulisanja. To je vrednost na s = 0 Rimanove zeta funkcije.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,$

Dve gorenavedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je $\Gamma (1)=1$),

$\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!$

gde ekspanzija snage niza za ζ(s) oko s = 1 prati jer ζ(s) ima jednostavan pol ostataka jednog tamo. U tom smislu 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −¹⁄₂.

Emilio Elizalde predstavlja anegdotu o stavovima prema redovima:

Za kratak period manji od jedne godine, dva ugledna fizičara, A. Slavnov i F. Jnudarain, su dala seminare u Barseloni, o različitim temama. Bilo je neverovatno da se, u obe prezentacije, u jednom trenutku govornik obratio sledećim rečima: "Kao što svi znaju, 1 + 1 + 1 + · · · = −¹⁄₂'. Implicira možda: Ako ne znate ovo, nema svrhe da nastavite da slušate.

Vidi još

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• Harmonijski redovi