Корисник:MM2114/песак

Koristeći algebarske identitete

Ovu metodu su koristili razni matematičari kroz istoriju:

Neka koreni standardne kvadratne jednačine budu r₁ i r₂. Izvođenje počinje ponovnim pozivanjem identiteta:

$(r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}.$

Korenovanjem obe strane dobijamo:

$r_{1}-r_{2}={\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}.$

Pošto je koeficijent a ≠ 0, možemo podeliti standardnu jednačinu sa a da bi dobili kvadratni polinom sa istim korenima. Naime,

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\ \ .$

Iz ovoga se vidi da je zbir korena standardne kvadratne jednačine dobijen preko −b/a, a proizvod preko c/a. Stoga se identitet može prepisati kao:

$r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\ \ .$

Sada,

$r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Pošto je r₂ = −r₁ − b/a, ako uzmemo da je

$r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

onda dobijemo da je

$r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

a ako uzmemo da je

$r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

onda dobijemo da je

$r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Kombinovanjem ovih rezultata koristeći skraćenicu ±, dobijemo da su rešenja kvadratne jednačine data pomoću:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Koristeći Lagranžove resolvente

Alternativni način izvođenja kvadratnih formula je preko Lagranžovih resolvenata, koji su rani deo Galove teorije. Ova metoda može biti generalizovana radi dobijanja korena kubnih polinoma i funkcija četvrtog stepena i vodi do Galove teorije, koja omogućava razumevanje rešenja algebarske jednačine bilo kog stepena u pogledu grupa simetrija njihovih korena, Galove grupe. Ovaj pristup više se fokusira na korene nego na preuređivanje originalne jednačine. Dat je kvadratni polinom

$x^{2}+px+q\ \ ,$

pretpostavi da je

$x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )\ \ ,$

Proširenje se poništava

$x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \ \ ,$

gde su p = −(α + β) i q = αβ.

Pošto redosled množenja nije bitan, α i β se mogu menjati, a da se vrednosti p i q ne menjaju: može se reći da su p i q simetrični polinomi u α i β. Zapravo, oni su osnovni simetrični polinomi - bilo koji simetrični polinom u α i β može biti izražen preko α+β i αβ. Pristup Galove teorije analiziranju i rešavanju polinoma je: uzimajući u obzir koeficijente polinoma, koje su simetrične funkicije u korenima, može li se "slomiti simetrija" i obnoviti koren? Tako je rešavanje polinoma stepena n povezano sa načinima preuređivanja ("permutovanja") n termina, koji se naziva simetrična grupa na n slova, i označava S_n. Za kvadratni polinom, jedini način da se preurede dva termina je da se oni zamene ("transponuju"), i tako rešavanje kvadratnog polinoma je jednostavno.

Da bi našao korene α i β, uzmi u obzir njihov zbir i razliku:

${\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta \ \ .\end{aligned}}$

To se naziva Lagranžovim resolventima polinoma; primetite da jedna od ovih zavisi od reda korena, što je ključna tačka. Koreni iz resolvenata može se oporaviti invertovanjem gornjih jednačina:

${\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right)\ \ .\end{aligned}}$

Time, rešavanje resolventima daje originalne korene.

Sad je r₁ = α + β simetrična funkcija u α i β, te može biti izražena preko p i q, i zapravo r₁ = −p kao što je gore navedeno. Ali r₂ = α − β nije simetrično jer zamenjivanjem α i β poništava se −r₂ = β − α . Pošto r₂ nije simetrično, ne može biti predstavljeno preko koeficijenata p i q, jer su oni simetrični u korenu i time je i svaki polinomski izraz koji uključuje njih. Menjanje reda korena menja samo r₂ za -1 i time je r₂² = (α − β)² simetrična u korenu i može se izraziti preko p i q. Koristeći jednačinu

$(\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \$

poništava

$r_{2}^{2}=p^{2}-4q\ \$

i time je

$r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\ \$

Ako se uzme pozitivni koren,lomi se simetrija i dobija se:

${\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}$

i time je

${\begin{aligned}\alpha &={\tfrac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &={\tfrac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\ \ .\end{aligned}}$

Što znači da su koreni

$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)$

što je kvadratna formula. Menjanjem p = b/a, q = c/a poništava se uobičajena forma.Resolventi se mogu prepoznati kao

r₁/2 = −p/2 = −b/2a koja je verteks, i r₂² = p² − 4q koja je diskriminanta

.Sličan, ali složeniji metod funkcioniše za kubne jednačine, gde jedna ima tri rezolvente i kvadratnu jednačinu ("rešavajući polinom") koja se odnosi na r₂ i r₃, što se može rešiti kvadratnom jednačinom, a slično za kvartičku jednačinu (stepen 4) ), čije je rešavanje polinoma kubno, što može biti rešeno. Ista metoda za kvintičku jednačinu daje polinom stepena 24, što ne pojednostavljuje problem, i, u stvari, rešenja kvintičkih jednačina uopšte se ne mogu izraziti koristeći samo korene.

Preko ekstrema

Poznavanje vrednosti x u funkcionalnoj ekstremnoj tački omogućava da se reši samo za povećanje (ili smanjenje) potrebno u x da se reši kvadratna jednačina. Ova metoda prvo koristi diferencijaciju da bi našla x_ext tj. x u ekstremnoj tački.Zatim rešavamo za vrednost x, koja osigurava da jef(x_ext + q) = 0. Iako to možda nije najintuitivniji metod, osigurava da je matematika jasna.

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial x}}&=2ax+b\ \ .\end{aligned}}$

Postavljanje gornjeg diferencijala na nulu daje nam ekstreme kvadratne funkcije

$x_{\text{ext}}={\frac {-b}{2a}}\ \ .$

Definišemo q kao:

$q=x_{0}-x_{\text{ext}}\ \ ,$

Ovde je x₀ vrednost x koja rešava kvadratnu jednačinu. Zbir x_ext i q je ubačena u kvadratnu jednačinu

${\begin{aligned}a\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)+c&=0\\[5pt]\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)^{2}+{\frac {b}{a}}\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)+{\frac {c}{a}}&=0&&(a\neq 0)\\[5pt]{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+q^{2}-{\frac {bq}{a}}-{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}+{\frac {bq}{a}}+{\frac {c}{a}}&=0\\[5pt]{\frac {-b^{2}}{4a^{2}}}+q^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\[5pt]q^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\[5pt]q&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}$

Vrednost x_ext se zatim dodaje na obe strane jednačine

$x_{0}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Ovo daje kvadratnu formulu. Na ovaj način se izbegava tehnika kompletiranja kvadrata i mnogo složenija matematika nije potrebna. Imajte na umu da je ovo rešenje veoma slično rešavanju koje dobija formulu supstitucijom.

Podelom na realne i imaginarne delove

Uzmimo da je jednačina

$az^{2}+bz+c=0$

gde je $z=x+iy$kompleksan broj i gde su a,b i c su pravi brojevi. Onda

${\begin{aligned}a(x+iy)^{2}+b(x+iy)+c&=0\ \ ,\ \ a(x^{2}-y^{2}+i2xy)+b(x+iy)+c=0\ \ .\end{aligned}}$

Ovo se deli na dve jednačine. Realni deo:

$a(x^{2}-y^{2})+bx+c=0$

i imaginarni deo:

$2axy+by=0\ \ .$

Pretpostaviti da je $y\neq 0$te podeliti drugu jednačinu sa y:

$2ax+b=0$

i rešiti za x:

$x={-b \over 2a}\ \ .$

Zameniti ovu vrednost x u prvoj jednačini i rešiti za y:

${\begin{aligned}a{\Big (}{b^{2} \over 4a^{2}}-y^{2}{\Big )}-{b^{2} \over 2a}+c&=0\\{b^{2} \over 4a}-ay^{2}-{2b^{2} \over 4a}+c&=0\\{-b^{2} \over 4a}-ay^{2}+c&=0\\ay^{2}+{b^{2} \over 4a}-c&=0\\y^{2}&={c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}}\\y&=\pm {\sqrt {{c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}}}}={\pm {\sqrt {ca-{b^{2} \over 4}}} \over a}={\pm {\sqrt {4ca-b^{2}}} \over 2a}\ \ .\end{aligned}}$

Pošto je $z=x+iy$, onda

${\begin{aligned}z&={-b \over 2a}\pm {i{\sqrt {4ac-b^{2}}} \over 2a}\\[5pt]z&={-b \over 2a}\pm {{\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}\ \ .\end{aligned}}$

Iako y ne bi trebalo da bude 0, poslednja formula se može koristiti za bilo koji koren originalne jednačine, pretpostavljajući da je $y=0$ nije od velike pomoći.

Istorijski razvoj

Najranije metode za rešavanje kvadratnih jednačina bile su geometrijske. Vavilonske klinaste tablice sadrže probleme koji se mogu svesti na rešavanje kvadratnih jednačina. Egipatski Berlin Papirus, koji datira još iz Srednjeg kraljevstva (2050. pne. Do 1650. pne), sadrži rešenje za dvosmernu kvadratnu jednačinu.

Elemenata uticajne matematičke studije. Pravila za kvadratne jednačine pojavljuju se u kineskih Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti oko 200.

Euklid u Atinskoj školi

godine pre nove ere. U svom radu Arithmetica, grčki matematičar Diofant (otprilike 250 pne) rešavao je kvadratne jednačine metodom koja je više prepoznatljiva algebarska od geometrijske algebre Euklida. Njegovo rešenje daje samo jedan koren, čak i kada su oba korena pozitivna.

Indijski matematičar Brahmagupta (597–668 AD) eksplicitno je opisao kvadratnu formulu u svojoj raspravi Brahmasphutasiddhanta objavljenu 628. godine, ali napisanu rečima umjesto simbolima. Njegovo rešenje kvadratne jednačine ax² + bx = c bilo je sledeće: "Na apsolutni broj pomnožen četiri puta [koeficijentom] kvadrata, dodajte kvadrat [koeficijenta] srednjeg člana, kvadratni koren istog, bez [koeficijenta] srednjeg člana, podeljen dvostrukim [koeficijentom] kvadrata je vrednost. Ovo je ekvivalentno:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .$

Perzijski matematičar iz 9. veka Mumammad ibn Musa al-Khvarizmi rešio je kvadratne jednačine algebarski. Kvadratnu formulu koja pokriva sve slučajeve prvi put je dobio Simon Stevin 1594. godine

Godine 1637. Rene Dekart je objavio La Geometrie koji sadrži posebne slučajeve kvadratne formule u formi koju danas poznajemo.Prvo pojavljivanje opšteg rešenja u modernoj matematičkoj literaturi pojavilo se u izdanju Henrija Hitona iz 1896. godine.