Придружени Лежандрови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Придружени Лежандрови полиноми P_\ell^{m}(x) представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,

Дефиниција за позитивне параметре ℓ и m[уреди]

Придружени Лежандрови полиноми P_\ell^{m}(x) повезани са обичним Лежандровим полиномима (m ≥ 0)

P_\ell^{m}(x) = (-1)^m\ (1-x^2)^{m/2}\ \frac{d^m}{dx^m}\left(P_\ell(x)\right)\,

За обичне Лежандрове полиноме вреди:

(1-x^2) \frac{d^2}{dx^2}P_\ell(x) -2x\frac{d}{dx}P_\ell(x)+ \ell(\ell+1)P_\ell(x) = 0.

Члан (−1)m у том изразу познат је као Кондон-Шотлијева фаза, коју неки аутори испуштају. Родригезовом формулом добија се:

P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell\,\ell!} \  \frac{d^\ell}{dx^\ell}\left[(x^2-1)^\ell\right],

па се онда придружени Лежандров полином може приказати као:

P_\ell^{m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \ell!} (1-x^2)^{m/2}\  \frac{d^{\ell+m}}{dx^{\ell+m}}(x^2-1)^\ell.

Лежандрови полиноми могу да се прикажу и као специјални случај хипергеометријске функције:

P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{1+z}{1-z}\right]^{\mu/2} \,_2F_1 (-\lambda, \lambda+1; 1-\mu; \frac{1-z}{2})

Ортогоналност[уреди]

Претпостављајући 0 \le m \le \ell, они задовољавају услов ортогоналности за фиксни m:

\int_{-1}^{1} P_k ^{m} P_\ell ^{m} dx = \frac{2 (\ell+m)!}{(2\ell+1)(\ell-m)!}\ \delta _{k,\ell}

При томе је \delta _{k,\ell} Кронекерова делта функција.

Осим тога они задовољавају релацију ортогоналности за фиксни ℓ:

\int_{-1}^{1} \frac{P_\ell ^{m} P_\ell ^{n}}{1-x^2}dx = \begin{cases} 0 & \mbox{if } m\neq n \\ \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} & \mbox{if } m=n\neq0 \\ \infty & \mbox{if } m=n=0\end{cases}

Првих неколико придружених Лежандрових полинома[уреди]

P_{0}^{0}(x)=1
P_{1}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}P_{1}^{1}(x)
P_{1}^{0}(x)=x
P_{1}^{1}(x)=-(1-x^2)^{1/2}
P_{2}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{24}\end{matrix}P_{2}^{2}(x)
P_{2}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{6}\end{matrix}P_{2}^{1}(x)
P_{2}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(3x^{2}-1)
P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^2)^{1/2}
P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2)
P_{3}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{720}\end{matrix}P_{3}^{3}(x)
P_{3}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{120}\end{matrix}P_{3}^{2}(x)
P_{3}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{12}\end{matrix}P_{3}^{1}(x)
P_{3}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(5x^3-3x)
P_{3}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix}(5x^{2}-1)(1-x^2)^{1/2}
P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^2)
P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^2)^{3/2}

Рекурзивне релације[уреди]

(\ell-m+1)P_{\ell+1}^{m}(x) = (2\ell+1)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)
2mxP_{\ell}^{m}(x)=-\sqrt{1-x^2}\left[P_{\ell}^{m+1}(x)+(\ell+m)(\ell-m+1)P_{\ell}^{m-1}(x)\right]
 \sqrt{1-x^2}P_\ell^m(x) = \frac1{2\ell+1} \left[ P_{\ell-1}^{m+1}(x) - P_{\ell+1}^{m+1}(x) \right]
 \sqrt{1-x^2}P_\ell^m(x) = \frac1{2\ell+1} \left[ (\ell-m+1)(\ell-m+2) P_{\ell+1}^{m-1}(x) - (\ell+m-1)(\ell+m) P_{\ell-1}^{m-1}(x) \right]
\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) = (\ell-m)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)
 \sqrt{1-x^2}{P_\ell^m}'(x) = \frac12 \left[ (\ell+m)(\ell-m+1)P_\ell^{m-1}(x) - P_\ell^{m+1}(x) \right]
 (1-x^2){P_\ell^m}'(x) = \frac1{2\ell+1} \left[ (\ell+1)(\ell+m)P_{l-1}^m(x) - l(l-m+1)P_{l+1}^m(x) \right]
(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = {\ell}xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)
(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = \sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) + mxP_{\ell}^{m}(x)
(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = -(\ell+m)(\ell-m+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x) - mxP_{\ell}^{m}(x)
P_{\ell +1}^{\ell +1}(x) = - (2\ell+1) \sqrt{1-x^2} P_{\ell}^{\ell}(x)
P_{\ell}^{\ell}(x) = (-1)^l (2\ell-1)!!  (1- x^2)^{(l/2)}
P_{\ell +1}^{\ell}(x) = x (2\ell+1) P_{\ell}^{\ell}(x)

Параметризација помоћу углова[уреди]

Придружени Лежандрови полиноми могу да се параметризирају помоћу углова, тј. x = \cos\theta:

P_\ell^{m}(\cos\theta) = (-1)^m (\sin \theta)^m\ \frac{d^m}{d(\cos\theta)^m}\left(P_\ell(\cos\theta)\right)\,

Онда добијамо да је првих неколико полинома:


\begin{align}
P_0^0(\cos\theta) & = 1 \\[8pt]
P_1^0(\cos\theta) & = \cos\theta \\[8pt]
P_1^1(\cos\theta) & = -\sin\theta \\[8pt]
P_2^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (3\cos^2\theta-1) \\[8pt]
P_2^1(\cos\theta) & = -3\cos\theta\sin\theta \\[8pt]
P_2^2(\cos\theta) & = 3\sin^2\theta \\[8pt]
P_3^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (5\cos^3\theta-3\cos\theta) \\[8pt]
P_3^1(\cos\theta) & = -\tfrac{3}{2} (5\cos^2\theta-1)\sin\theta \\[8pt]
P_3^2(\cos\theta) & = 15\cos\theta\sin^2\theta \\[8pt]
P_3^3(\cos\theta) & = -15\sin^3\theta \\[8pt]
\end{align}

За фиксниm, P_\ell^m(\cos\theta) су ортогоналне, параметризиране по θ преко [0, \pi], са тежином \sin \theta:

\int_0^\pi P_k^{m}(\cos\theta) P_\ell^{m}(\cos\theta)\,\sin\theta\,d\theta = \frac{2 (\ell+m)!}{(2\ell+1)(\ell-m)!}\ \delta _{k,\ell}

Такође за фиксни ℓ:

\int_0^\pi P_\ell^{m}(\cos\theta) P_\ell^{n}(\cos\theta) \csc\theta\,d\theta = \begin{cases} 0 & \text{if } m\neq n \\ \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} & \text{if } m=n\neq0 \\ \infty & \text{if } m=n=0\end{cases}

P_\ell^{m}(\cos \theta) су решења од:

\frac{d^{2}y}{d\theta^2} + \cot \theta \frac{dy}{d\theta} + \left[\lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\,y = 0\,

За m\ge 0 горња једначина има несингуларна решења само за \lambda = \ell(\ell+1)\, за целобројни \ell \ge m, а решења су пропорционална P_\ell^{m}(\cos \theta).

Сферни хармоници[уреди]

Придружени Лежандрови полиноми сусрећу се у многим проблемима физике са сферном симетријом. Једначина \nabla^2\psi + \lambda\psi = 0 у случају сферне симетрије може да се напише најпре уз помоћ лапласијана у сферним координатама:

\nabla^2\psi = \frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} + \cot \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} + \csc^2 \theta\frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2}.

Парцијална диференцијална једначина \nabla^2\psi + \lambda\psi = 0 постаје:

\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} + \cot \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} + \csc^2 \theta\frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2} + \lambda \psi = 0

Решава се сепарацијом варијабли по θ и φ, тако да је φ део облика \sin(m\phi) или \cos(m\phi) за целобројне m≥0, а онда преостаје једначина по θ:

\frac{d^{2}y}{d\theta^2} + \cot \theta \frac{dy}{d\theta} + \left[\lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\,y = 0\,

за коју су решења придружени Лежандрови полиноми P_\ell^{m}(\cos \theta) са \ell{\ge}m и \lambda = \ell(\ell+1).

На тај начин добили смо да су једначина:

\nabla^2\psi + \lambda\psi = 0

има несингуларна решења само за \lambda = \ell(\ell+1), а та решења пропорционална су:

P_\ell^{m}(\cos \theta)\ \cos (m\phi)\ \ \ \ 0 \le m \le \ell

и

P_\ell^{m}(\cos \theta)\ \sin (m\phi)\ \ \ \ 0 < m \le \ell.

За сваки  \ell постоји  2\ell+1 функција за различите m и они су ортогонални. Решења се обично пишу у облику:

Y_{\ell, m}(\theta, \phi) =  \sqrt{\frac{(2\ell+1)(\ell-m)!}{4\pi(\ell+m)!}}\ P_\ell^{m}(\cos \theta)\ e^{im\phi}\qquad -\ell \le m \le \ell.

При томе та решења Y_{\ell, m}(\theta, \phi) називају се сферни хармоници.

Литература[уреди]