Лежандрови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лежандрови полиноми P_n(x) представљају решења Лежандрове диференцијалне једначине:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.

Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру. Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици, а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.

Својства и полиноми[уреди]

Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n\qquad (1)

Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

Експлицитни развој полинома је:

P_n(x)= \frac 1 {2^n} \sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k= 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n},

Првих неколико полинома је:

Првих 6 Лежандрових полинома
  • P_0(x)=1;\,
  • P_1(x)=x;\,
  • P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);
  • P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);
  • P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);
  • P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);
  • P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);
  • P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);
  • P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);
  • P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);
  • P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).

Рекурзије[уреди]

Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:

P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x

Изводом формуле (1) добија се:

\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = (1-2xt+t^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1}.

а одатле се добија рекурзивна релација:

 (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x).\,

Ортогоналност[уреди]

Лежандрови полиноми су ортогонални:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

где је δmn Кронекерова делта функција.

Друга својства[уреди]

Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од n:

P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,

Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:

P_n(\cos\theta)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\cos^2\theta-1)^n

Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:

(2n+1) P_n(x) = {d \over dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right].

Примена Лежандрових полинома у физици[уреди]

Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782. као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:


\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)

где су r и r' дужине вектора \mathbf{x} и \mathbf{x}^\prime, а \gamma је угао између та два вектора. Тај ред конвергира када је r>r'. Лежандрови полиноми појављују се и приликом решавања Лапласове једначине \nabla^2 \Phi(\mathbf{x})=0 односно приликом решавања потенцијала у простору без наелектрисања.

За потенцијал добија се:


\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).

Придружени Лежандрови полиноми[уреди]

Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми P_\ell^{m}(x), који представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,

Придружени Лежандрови полиноми P_\ell^{m}(x) повезани су са обичним Лежандровим полиномима P_\ell(x) следећом релацијом:

P_\ell^{m}(x) = (-1)^m\ (1-x^2)^{m/2}\ \frac{d^m}{dx^m}\left(P_\ell(x)\right)\,

Литература[уреди]