Трапезоидно правило

Пример трапезоидног правила

Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла $\int_a^b f(x) dx$. Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација фунцкије $f(x)$ дужи од тачке $(a, f(a) )$ до $(b,f(b))$. Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.

$f(x) \approx \frac{ f(b) - f(a) }{ b-a } \cdot x + f(a)$

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b \frac{ f(b) - f(a) }{ b-a } \cdot x + f(a) dx$

$\int_a^b f(x) dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}$

Грешка

Грешка при оваквој апроксимацији је:

$\left| E_T \right| \le {(b-a)^3 \over 12} \max_{a\le \xi \le b} {\left| f''(\xi) \right|}$

До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке $a\,$ изгледа овако:

$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots$

Односно за тачку $b\,$:

$f(b) = f(a) + (b-a)f'(a) + \frac{(b-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots$

Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):

${\color{blue} \int_a^b f(x) dx} \approx {\color{red} \frac{h}{2} (f(a) + f(b) )} = {\color{red} \frac{h}{2} (f(a) + \underbrace{f(a)+ (b-a)f'(a) + \frac{(b-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots}_{f(b)} )}$

Погледајмо прецизан интеграл:

${\color{blue} \int_a^b f(x) dx} = {\color{blue}\int_a^b \underbrace{f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots}_{f(x)} dx }$

$= {\color{blue} \int_a^b f(a) dx + \int_a^b (x-a)f'(a) dx + \int_a^b \frac{(x-a)^2 f''(a)}{2!}dx + \int_a^b \dots dx}$

$= {\color{blue} (b-a)f(a) + \frac{ (b-a)^2 f'(a) }{2} + \frac{ (b-a)^3 f''(a) } {6} + \dots }$

Њихова разлика је наравно грешка:

${\color{blue} \int_a^b f(x) dx } - {\color{red} \frac{h}{2} (f(a) + f(b)) } =$

$= {\color{blue} (b-a)f(a) + \frac{ (b-a)^2 f'(a) }{2} + \frac{ (b-a)^3 f''(a) } {6} + \dots }$

$- {\color{red} \frac{h}{2} (f(a) + f(a)+ (b-a)f'(a) + \frac{(b-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots )} =$

$= -\frac{(b-a)^3}{12} f''(a) + \dots$

Очигледно је да за $h \geq 1\,$ грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за $h<1\,$ је све мања што „се даље иде“. Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.

Сложено трапезоидно правило

Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left({f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left(a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)$,

што такође можемо написати као:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2n} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\dots+2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right)$.

Када означимо број тачака са $n$, a размак између њих са $h = \frac{b-a}{n}$, онда је грешка сложеног трапезоидног правила:

$\left| E_T \right| \le {(b-a) \over 12}h^2 \max_{a\le \xi \le b} {\left| f''(\xi) \right|}$

Литература

• Milton Abramowitz and Irene Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
• I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
• A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
• Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)